Các công thức cho hiện tượng phóng xạ

Tính toán các đặc trưng của hiện tượng phóng xạ như chu kì bán rã, độ phóng xạ và nhiệt lượng tỏa ra là một trong những yêu cầu cơ bản của Vật lý phổ thông.

Race of particle radiation

Các công thức cơ bản

Mỗi chất phóng xạ được đặc trưng bởi một thời gian $T$ gọi là chu kì bán rã hoặc một hằng số phóng xạ $\lambda$, cứ sau mỗi chu kì này thì một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ đã biến đổi thành chất khác. Liên hệ giữa hằng số phóng xạ $\lambda$ và chu kì bán rã $T$ \[T = \frac{{\ln 2}}{\lambda }.\]

Số nguyên tử ở thời điểm $t$ \[N = {N_0}{e^{ - \lambda t}} = {N_0}{2^{ - t/T}}.\] Khối lượng ở thời điểm $t$ \[m = {m_0}{e^{ - \lambda t}} = {m_0}{2^{ - t/T}}.\] Độ phóng xạ ở thời điểm $t$ \[\begin{align} &H = {H_0}{e^{ - \lambda t}} = {H_0}{e^{ - t/T}}, \hfill \\ &H = \lambda N. \hfill \\ \end{align}\] Đơn vị của độ phóng xạ là Bq (Becquerel) = phân rã/giây hay Ci (Curie):

1 Ci = 3,7.10¹⁰ Bq.

Số hạt nhân bị phân rã sau thời gian $t$ \[\Delta N = {N_0} - N = {N_0}(1 - {2^{ - t/T}}).\] Độ giảm khối lượng sau thời gian $t$ \[\Delta m = {m_0} - m = {m_0}(1 - {2^{ - t/T}}).\] Độ giảm cường độ phóng xạ sau thời gian $t$ \[\Delta H = {H_0} - H = {H_0}(1 - {2^{ - t/T}}).\] Cân bằng phóng xạ của hai chất phóng xạ \[\begin{align} {H_1} &= {H_2}, \hfill \\ {\lambda _1}{N_1} &= {\lambda _2}{N_2}. \hfill \\ \end{align}\] Định tuổi của mẫu chất phóng xạ nếu cho trước khối lượng hay độ phóng xạ ban đầu \[t = \frac{1}{\lambda }\ln \frac{{{N_0}}}{N} = \frac{1}{\lambda }\ln \frac{{{m_0}}}{m} = \frac{1}{\lambda }\ln \frac{{{H_0}}}{H}.\] Đo chu kì bằng cách đếm xung theo thời điểm: tại các thời điểm ${t_1}$, ${t_2}$ đếm được số xung (chính là độ phóng xạ tại thời điểm đó) lần lượt là ${H_1}$ và ${H_2}$ thì ta có \[\begin{align} \frac{{{H_1}}}{{{H_2}}} &= {2^{\frac{{{t_2} - {t_1}}}{T}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{{t_2} - {t_1}}}{T} &= {\log _2}\frac{{{H_1}}}{{{H_2}}}. \hfill \\ \end{align}\] Đo chu kì bằng cách đếm xung theo khoảng thời gian:
- Số xung đếm được từ thời điểm ${t_1}$ đến thời điểm ${t_2}$ \[{N_{12}} = {N_0}({2^{ - {t_1}/T}} - {2^{ - {t_2}/T}}).\] - Số xung đếm được từ thời điểm ${t_3}$ đến thời điểm ${t_4}$ \[{N_{34}} = {N_0}({2^{ - {t_3}/T}} - {2^{ - {t_4}/T}}).\] - Lập tỉ lệ \[\frac{{{N_{12}}}}{{{N_{34}}}} = \frac{{{2^{ - {t_1}/T}} - {2^{ - {t_2}/T}}}}{{{2^{ - {t_3}/T}} - {2^{ - {t_4}/T}}}} \Rightarrow T.\] Giải phương trình này bằng chức năng Shift-Solve của máy tính bỏ túi.
- Nếu khoảng thời gian đếm xung bằng nhau $(\delta t = {t_2} - {t_1} = {t_4} - {t_3})$ thì ta có \[\lambda .\Delta t = \ln \frac{{{N_{12}}}}{{{N_{34}}}}\] với \[\Delta t = {t_3} - {t_1}\] là khoảng cách giữa 2 lần đo.

Thao tác với phương trình phản ứng hạt nhân

Xét phản ứng hạt nhân \[mX + nY \to pC + qD\] với m, n, p, q là các hệ số cân bằng. Gọi số hạt tham gia phản ứng/số hạt bị phân hủy là $\Delta {N_X}$ và $\Delta {N_Y}$, số hạt sản phẩm là ${N_C}$ và ${N_D}$ thì \[\begin{align} &mX\,\,\, + \,\,\,nY \to pC\,\,\, + \,\,\,qD \hfill \\ \text{num of particles:}\,\,\,&\Delta{N_X}\,\,\,\,\,\,\Delta {N_Y}\,\,\,\,\,\,\,{N_C}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{N_D} \hfill \\ \end{align}\] Từ đây suy ra \[\frac{{\Delta {N_X}}}{m} = \frac{{\Delta {N_Y}}}{n} = \frac{{{N_C}}}{p} = \frac{{{N_D}}}{q}.\] Số hạt tỉ lệ với số mol $n$ nên \[\begin{align} &mX\,\,\,\, + \,\,\,\,nY \to pC\,\,\,\, + \,\,\,\,qD \hfill \\ \text{mol:}\,\,\,\,&\Delta {n_X}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Delta {n_Y}\,\,\,\,\,\,\,\,\,{n_C}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{n_D} \hfill \\ \end{align}\] do đó \[\frac{{\Delta {n_X}}}{m} = \frac{{\Delta {n_Y}}}{n} = \frac{{{n_C}}}{p} = \frac{{{n_D}}}{q}.\] Công thức này giúp ta tìm được số mol sản phẩm khi biết số mol nguyên liệu tham gia phản ứng.
Gọi khối lượng nguyên liệu và sản phẩm là $\Delta {m_X}$, $\Delta {m_Y}$; ${m_C}$, ${m_D}$ và chú ý $n = m/A$ ($A$ là số khối, coi như bằng khối lượng mỗi hạt) \[\begin{align} &mX\,\,\,\, + \,\,\,\,nY \to pC\,\,\,\, + \,\,\,\,qD \hfill \\ \text{mass:}\,\,\,\,\,&\Delta {m_X}\,\,\,\,\,\,\,\Delta {m_Y}\,\,\,\,\,\,\,{m_C}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{m_D} \hfill \\ \end{align}\] do đó \[\frac{{\Delta {m_X}}}{{m{A_X}}} = \frac{{\Delta {m_Y}}}{{n{A_Y}}} = \frac{{{m_C}}}{{p{A_C}}} = \frac{{{m_D}}}{{q{A_D}}}.\] Công thức này giúp ta tìm được khối lượng sản phẩm sinh ra khi biết khối lượng nguyên liệu tham gia phản ứng, các khối lượng $\Delta m$ này tìm từ phần Các công thức cơ bản.

Chú ý

Số hạt trong một khối lượng (tính bằng gram) của chất có nguyên tử lượng $M$ (thường lấy bằng số khối $A$) \[N = \frac{m}{M}{N_{\text{A}}}.\] ${N_\text{A}}$ là số Avogadro, $M$ là nguyên/phân tử khối.