Lăn không trượt vs Vừa lăn vừa trượt
Chuyển động lăn của khối trụ
Xét khối trụ tròn đều đồng chất khối lượng $m$ lăn trên mặt phẳng ngang, chịu tác dụng của hợp lực ${\mathbf{F}}$ và các lực ma sát ${{\mathbf{F}}_{{\text{ms}}}}$. Chiều dương của momen đặc trưng bởi vector chỉ phương ${\mathbf{z}}$ hướng vào mặt phẳng hình vẽ, bán kính vector vạch từ tâm O đến điểm tiếp xúc là ${\mathbf{R}}$. Vector đơn vị ${\mathbf{x}}$ chỉ chiều dương của chuyển động. Phương trình động lực học cho khối trụ gồm phương trình tịnh tiến của khối tâm O và phương trình quay quanh tâm này \[\left\{ \begin{align} &{\mathbf{F}} + {{\mathbf{F}}_{{\text{ms}}}} = m{\mathbf{a}}, \hfill \\ &{{\mathbf{M}}_F} + {{\mathbf{M}}_{{F_{{\text{ms}}}}}} = I{\mathbf{\varepsilon }}. \hfill \\ \end{align} \right.\] Giải hệ này giúp ta tìm được vận tốc tịnh tiến của khối tâm O so với mặt đường \[{{\mathbf{v}}_{\text{o}}} = \int_0^t {{\mathbf{a}}dt} \] và vận tốc dài của điểm tiếp xúc A so với tâm quay O \[{{\mathbf{v}}_{\text{t}}} = {\mathbf{\omega }} \times {\mathbf{R}} = \int_0^t {({\mathbf{\varepsilon }} \times {\mathbf{R}})dt} \] trong đó $\times$ là kí hiệu của tích hữu hướng. Vận tốc của điểm tiếp xúc A so với mặt đường là \[{{\mathbf{v}}_{\text{A}}} = {{\mathbf{v}}_{{\text{AO}}}} + {{\mathbf{v}}_{\text{O}}} = {{\mathbf{v}}_{\text{t}}} + {{\mathbf{v}}_{\text{o}}}.\] Chiếu ${{\mathbf{v}}_{\text{A}}}$ lên trục ${\mathbf{x}}$ \[{v_{{\text{Ax}}}} = {v_{{\text{ox}}}} + {v_{{\text{tx}}}} = \int_0^t {\left[ {{a_{\text{x}}} + \left( { - \varepsilon R} \right)} \right]dt}.\] Gọi ${V_{{\text{Ax}}}}$, ${V_{{\text{tx}}}}$, ${V_{{\text{ox}}}}$ là giá trị đầu tương ứng của các vận tốc, nếu các lực và momen không thay đổi theo thời gian \[{v_{{\text{Ax}}}} = {V_{{\text{ox}}}} + {V_{{\text{tx}}}} + ({a_{\text{x}}} - \varepsilon R)t = {V_{{\text{Ax}}}} + ({a_{\text{x}}} - \varepsilon R)t.\]
Khối trụ vừa lăn vừa trượt
Chừng nào ${v_{{\text{Ax}}} > 0}$ tức là điểm tiếp xúc trượt về phía trước/bên phải. Khi đó, có lực ma sát trượt ngược chiều chuyển động tác dụng lên nó. Ngược lại, nếu ${v_{{\text{Ax}}} < 0}$ điểm tiếp xúc trượt về phía sau, có lực ma sát trượt cùng chiều chuyển động tác dụng lên nó. Trong hai trường hợp này, tính chất chuyển động của cấu hình được mô tả đầy đủ bằng hệ \[\left\{ \begin{align} &{\mathbf{F}} + {{\mathbf{F}}_{{\text{mst}}}} = m{\mathbf{a}}, \hfill \\ &{{\mathbf{M}}_F} + {{\mathbf{M}}_{{F_{{\text{mst}}}}}} = I{\mathbf{\varepsilon }}. \hfill \\ \end{align} \right.\]
Khối trụ lăn không trượt
Điểm tiếp xúc tham gia hai chuyển động là tịnh tiến cùng với tâm O với vận tốc ${v_{{\text{ox}}}}$ và quay quanh O với vận tốc dài ${v_{{\text{tx}}}}$. Nhiều trường hợp trong thực tế, có một thời điểm $t = {t_{\text{o}}}$ mà hai vận tốc này triệt tiêu lẫn nhau. Khi đó, điểm tiếp xúc đứng yên so với mặt đường, ${t_{\text{o}}}$ là nghiệm của phương trình ${v_{{\text{Ax}}}} = 0$ hay \[\int_0^{{t_{\text{o}}}} {({a_{\text{x}}} - \varepsilon R)dt} = 0.\] Ngay sau ${t_{\text{o}}}$, các lực/momen lực vẫn còn được duy trì làm điểm tiếp xúc có xu hướng trượt sang phải hoặc trái dẫn tới xuất hiện lực ma sát nghỉ tác dụng lên khối trụ. Lực ma sát nghỉ đặt lên điểm tiếp xúc để giữ nó đứng yên so với mặt đường, nói cách khác, vận tốc tịnh tiến/gia tốc tịnh tiến của nó bằng vận tốc quay/gia tốc quay quanh tâm O. Quãng đường tịnh tiến của tâm O bằng cung quét được của chuyển động tự quay. Trạng thái chuyển động này gọi là “lăn không trượt”.
Chiều của lực ma sát nghỉ phù hợp với xu hướng chuyển động của điểm tiếp xúc
Để biết chiều của lực ma sát nghỉ, ta viết hệ phương trình động lực khi lăn không trượt \[\left\{ \begin{align} &{F_{\text{x}}} + {F_{{\text{msn}}}} = m{a_{\text{x}}}, \hfill \\ &{F_{\text{x}}}d - {F_{{\text{msn}}}} = I\varepsilon = I\frac{{{a_{\text{x}}}}}{R}. \hfill \\ \end{align} \right.\] trong đó $d = \frac{{\sum {{F_{{\text{x}}i}}{d_i}} }}{{{F_{\text{x}}}}}$ là cánh tay đòn của lực tổng hợp. Giải hệ này được \[{F_{{\text{msn}}}} = {F_x}\left( {\frac{{1 + \frac{d}{R}}}{{1 + \frac{I}{{m{R^2}}}}} - 1} \right).\] Chiều của ${F_{{\text{msn}}}}$ rút ra khi xét dấu \[\left( {\frac{{1 + \frac{d}{R}}}{{1 + \frac{I}{{m{R^2}}}}} - 1} \right)\] hay \[\left( {\frac{d}{R} - \frac{I}{{{I_{\text{o}}}}}} \right)\] với ${I_{\text{o}}} = m{R^2}$ là momen quán tính cực đại của mọi cấu hình cùng khối lượng.
Xu hướng chuyển động là hành vi của hệ NẾU không có ma sát nghỉ. Gọi ${a_{\text{x}}}$ và $\varepsilon$ là các gia tốc gây ra bởi các lực không phải là ma sát nghỉ \[\left\{ \begin{align} &{F_{\text{x}}} = m{a_{\text{x}}}, \hfill \\ &{F_{\text{x}}}d = I\varepsilon . \hfill \\ \end{align} \right.\] Gia tốc tuyệt đối (so với đất) của điểm tiếp xúc ngay sau thời điểm chuyển tiếp ${t_{\text{o}}}$ là \[\begin{align} &{a_{{\text{Ao}}}}(t_{\text{o}}^ + ) = {({a_{\text{x}}} - \varepsilon R)_{t_{\text{o}}^ + }} = \frac{{d{v_{{\text{Ax}}}}}}{{dt}}(t_{\text{o}}^ + ) \hfill \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to t_{\text{o}}^ + } \frac{{{v_{{\text{Ax}}}}(t) - {v_{{\text{Ax}}}}({t_{\text{o}}})}}{{t - {t_{\text{o}}}}} \hfill \\ &= \mathop {\lim }\limits_{t \to t_{\text{o}}^ + } \frac{{{v_{{\text{Ax}}}}(t)}}{{t - {t_{\text{o}}}}}. \hfill \\ \end{align} \] ${v_{{\text{Ax}}}}(t \to t_{\text{o}}^ + )$ là vận tốc của điểm tiếp xúc ngay sau thời điểm ${t_{\text{o}}}$, nó biểu thị xu hướng chuyển động của điểm tiếp xúc A. Nếu nó dương, điểm A có xu hướng trượt sang phải, ma sát nghỉ hướng sang trái và ngược lại. Ta thấy dấu của ma sát nghỉ do dấu của $- ({a_{\text{x}}} - \varepsilon R)$ quy định. Mặt khác \[ - ({a_{\text{x}}} - \varepsilon R) = \frac{{{F_{\text{x}}}}}{m} + \frac{{{F_{\text{x}}}Rd}}{I} = \frac{{{F_{\text{x}}}{R^2}}}{I}\left( {\frac{d}{R} - \frac{I}{{{I_{\text{o}}}}}} \right).\] Như vậy, chiều của ma sát nghỉ tìm từ dấu của $\left( {d/R - I/{I_{\text{o}}}} \right)$.
- Nếu $d/R - I/{I_{\text{o}}} > 0$, ${F_{{\text{msn}}}}$ sẽ hướng theo chiều dương
- Nếu $d/R - I/{I_{\text{o}}} < 0$, ${F_{{\text{msn}}}}$ sẽ hướng theo chiều âm
Ma sát trong trò chơi bowling
Trong trò chơi bowling, dưới tác dụng của động tác xoay tay và ném, quả bowling khi rời tay sẽ vừa quay vừa tịnh tiến. Giả sử nó không bị nảy lên và vận tốc tịnh tiến nhỏ hơn vận tốc tự quay, khi tiếp đất, điểm tiếp xúc có vận tốc tuyệt đối hướng về phía người ném. Ma sát trượt hướng về phía trước làm quả bowling vừa trượt vừa lăn. Ma sát trượt này cũng gây ra momen cản dần chuyển động quay. Khi vận tốc quay cân bằng vận tốc tịnh tiến, quả bowling chuyển qua lăn không trượt, ma sát trượt chuyển thành ma sát nghỉ. Ma sát nghỉ hướng về phía trước tiếp tục làm quả bowling tịnh tiến. \[\left\{ \begin{align} &{F_{\text{c}}} + {F_{{\text{msn}}}} = m{a_{\text{x}}}, \hfill \\ &{M_{{F_{\text{c}}}}} - {F_{{\text{msn}}}}R = I{a_{\text{x}}}/R. \hfill \\ \end{align} \right.\] Trong đó ${F_{\text{c}}}$ và ${M_{\text{c}}}$ là một lực cản khác và momen của nó (điều này là nhất thiết cho sự tồn tại của lực ma sát nghỉ). Đối với quả bowling, ma sát lăn là lực cản chính trong lăn không trượt. Ma sát nghỉ chỉ có vai trò phát động hoặc phủ định xu hướng chuyển động, nó không cản trở chuyển động vì không đi kèm chuyển động. Đặc điểm của lăn không trượt là đồng bộ hai vận tốc tịnh tiến và quay. Nói cách khác, lúc quả bowling dừng lại cũng là lúc nó ngừng quay. Trường hợp vận tốc tịnh tiến lớn hơn vận tốc tự quay khi tiếp đất, điểm tiếp xúc trượt về trước làm ma sát trượt hướng về phía người ném hãm chuyển động tịnh tiến của quả bowling đồng thời tăng cường chuyển động tự quay của nó. Khi hai vận tốc này bằng nhau, vật chuyển qua lăn không trượt. Trong cả hai trường hợp, do các lực cản, quả bowling đều tiến về trạng thái lăn không trượt.