Ba cách để định nghĩa dao động điều hòa

Dao động điều hòa là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên, mang trong mình các đặc trưng là tính chu kì, tính hồi phục và tính bảo toàn năng lượng.

Cách định nghĩa phổ thông nhất

Một đại lượng $x$ được gọi là dao động điều hòa khi nó được mô tả theo thời gian bằng hàm số $x = A\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)$ trong đó $A$ và $\omega$ là các hằng số dương, $\varphi$ là một giá trị trong đoạn $[0;2\pi ]$ hoặc $[ - \pi;\pi]$.

sine là một hàm giới nội, nó chỉ nhận các giá trị giữa -1 và 1 nên $x$ chỉ thay đổi giữa $-A$ và $A$. Do đó, $A$ gọi là biên độ của dao động, nó chính là giá trị lớn nhất của $x$. Vì bị giới hạn giữa hai giá trị nên ta nói $x$ dao động. Có rất nhiều hàm số mô tả một đại lượng dao động, tuy nhiên hàm sine hoặc cosine mô tả một dao động điều hòa.

Giá trị lớn nhất và bé nhất của $x$ đối xứng qua 0, ta gọi $x = 0$ là tâm của dao động hay vị trí cân bằng (VTCB). Rõ ràng $x$ là độ lệch khỏi giá trị 0 này nên ta gọi $x$ là li độ.

sine còn là một hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ tức là sau mỗi $2\pi$, giá trị hàm số lặp lại như cũ $$\sin (\omega t + \varphi ) = \sin (\omega t + \varphi + 2\pi ).$$ Gọi $T$ là một hằng số sao cho $T = \frac{{2\pi }}{\omega }$ thì $$\sin (\omega t + \varphi ) = \sin (\omega t + \varphi + \omega T) = \sin \left( {\omega (t + T) + \varphi } \right)$$ tức là cứ sau mỗi thời gian $T$ thì giá trị hàm số lặp lại như cũ. Ta nói $x = A\sin (\omega t + \varphi )$ tuần hoàn với chu kì $T$. Do đó, $\omega$ gọi là tần số (góc) của dao động.

Đạo hàm của $x$ theo thời gian là $\dot x = A\omega \cos (\omega t + \varphi )$. Giá trị của li độ và chiều hướng thay đổi của nó tại mỗi thời điểm được xác định hoàn toàn một khi biết lượng $\left( {\omega t + \varphi } \right)$. Lượng này gọi là pha của dao động. Đặt thời điểm bắt đầu khảo sát dao động là gốc thời gian $t = 0$, giá trị của pha khi đó gọi là pha ban đầu $${(\omega t + \varphi )_{t = 0}} = \varphi.$$ Các giá trị của $x$ và $\dot x$ tại pha ban đầu gọi là các giá trị đầu/điều kiện đầu $$\begin{align} &x(0) = A\sin (\omega .0 + \varphi ) = A\sin \varphi , \hfill \\ &\dot x(0) = A\omega \cos (\omega .0 + \varphi ) = A\omega \cos \varphi . \hfill \\ \end{align}$$

Cách định nghĩa bằng phương trình vi phân

Một đại lượng $x$ được gọi là dao động điều hòa nếu nó thỏa phương trình vi phân sau $$\ddot x + {\omega ^2}x = 0$$ với $\omega$ là một hằng số dương, $\ddot x = \frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}}$ là đạo hàm bậc 2 theo thời gian của $x$.

Định nghĩa này tương đương định nghĩa đầu tiên vì nghiệm tổng quát của phương trình vi phân này chính là $x = A\sin (\omega t + \varphi )$ với $A$ và $\varphi$ là hai hằng số tích phân. Trong Vật lý, đại lượng $a: = {d^2}x/d{t^2}$ chính là gia tốc chuyển động của $x$, nếu $x$ là tọa độ của một chất điểm khối lượng $m$ thì phương trình vi phân trên trở thành $$ma = - m{\omega ^2}x.$$ Mặt khác liên hệ giữa lực $F$ tác dụng lên $m$ với gia tốc của nó được mô tả bằng định luật 2 Newton $$F = ma.$$ Như vậy, $F = - m{\omega ^2}x$ chính là lực tác dụng lên vật, có đặc điểm luôn cùng phương nhưng ngược chiều với li độ $x$. Do đó nó luôn có xu hướng kéo vật về VTCB. Một lực như thế gọi là lực hồi phục. Vật sẽ dao động điều hòa nếu chỉ có lực hồi phục tác dụng lên nó.

Cách định nghĩa bằng định luật bảo toàn cơ năng

Một đại lượng $x$ được gọi là dao động điều hòa nếu nó và đạo hàm theo thời gian của nó thỏa mãn quan hệ sau $${\dot x^2} + {\omega ^2}{x^2} = {\text{const}}.$$

Đạo hàm hai vế phương trình này ta thu được phương trình vi phân cho dao động điều hòa $$\begin{align} &2\dot x\frac{{d\dot x}}{{dt}} + {\omega ^2}.2x\dot x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \,\,\,&2\dot x\ddot x + {\omega ^2}.2x\dot x = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \,\,\,&\ddot x + {\omega ^2}x = 0, \hfill \\ \end{align}$$ chứng tỏ định nghĩa này tương đương với định nghĩa thứ hai.

Khi nhân 1/2 khối lượng của chất điểm vào hai vế của phương trình định nghĩa ta thu được phương trình sau $$\frac{1}{2}m{\dot x^2} + \frac{1}{2}m{\omega ^2}x = {\text{const}}.$$ Đại lượng $\frac{1}{2}m{\dot x^2}$ là động năng của chất điểm $m$. Nếu thừa nhận thế năng của vật là lượng còn lại $\frac{1}{2}m{\omega ^2}x$ thì định nghĩa này phản ánh định luật bảo toàn cơ năng trong cơ học cho vật: cơ năng của vật không đổi (hay tổng động năng và thế năng là một hằng số). Lực thế tác dụng lên vật tìm từ $$F = - {\text{grad}}{W_t} = - {\text{grad}}\left( {\frac{1}{2}m{\omega ^2}x} \right) = - m{\omega ^2}x.$$ Đối chiếu với định nghĩa 2, lực thế này chính là lực hồi phục.