Phương pháp giản đồ Fresnel để biểu diễn dao động điều hòa

Thao tác với giản đồ Fresnel là một trong những kĩ năng quan trọng cần thành thạo của học sinh khi học Vật lý. Phương pháp giản đồ giúp giải quyết cách nhanh gọn và trực quan nhiều bài toán về dao động điều hòa trong cơ học cũng như điện học.

Biểu diễn dao động điều hòa bằng giản đồ Fresnel

Giản đồ Fresnel hay giản đồ pha

Dao động điều hòa có thể xem như là hình chiếu của một chuyển động tròn đều lên một đường kính của nó. Nếu bán kính chuyển động tròn đều là $A$, chiều dương quy ước là ngược chiều kim đồng hồ, chọn một đường kính làm trục chuẩn, quan sát hình chiếu của đầu mút vector $A$ lên trục chuẩn

- Khi vector $A$ quét theo đường tròn, hình chiếu của nó di chuyển qua lại trên trục chuẩn, nếu chọn tâm $O$ của đường tròn làm gốc tọa độ, ta thấy hình chiếu di chuyển giữa 2 điểm $-A$ và $A$.

- Giả sử ban đầu điểm $A$ đang ở vị trị mà bán kính vector của nó hợp với trục chuẩn góc $\varphi$, khi điểm $A$ chuyển động tròn đều, góc quét của vector $A$ là $\omega t$. Đối với trục chuẩn, vị trí của $A$ được xác định bằng góc lượng giác $(\omega t + \varphi )$. Độ dài đại số của hình chiếu hay tọa độ của hình chiếu tìm được từ $x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$.

Kết luận: Nếu một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn bán kính $A$ với vận tốc góc $\omega$ thì hình chiếu của nó lên một đường kính bất kì sẽ dao động điều hòa với biên độ $A$ và tần số góc $\omega$. Pha ban đầu của dao động tùy thuộc cách ta chọn đường kính nào làm trục chuẩn, chiều dương quy ước cho đường tròn lượng giác cũng như chiều dương quy ước cho trục chuẩn.

Số lần đi qua trạng thái cho trước trong thời gian t

Minh họa phương pháp bằng giản đồ Fresnel

• B1: Phân tích \[t = mT + \tau \,\,(0 \leqslant \tau < T) \Rightarrow m = \left\lfloor {t/T} \right\rfloor\] (dấu $\left\lfloor {} \right\rfloor$ chỉ phép lấy phần nguyên)
• B2:
  + Đánh dấu các vị trí ứng với trạng thái khảo sát trên đường tròn lượng giác, số vị trí này là $k$ (thường là 1, 2 hoặc 4).
  + Đánh dấu trạng thái đầu (i), trạng thái cuối (f) trên đường tròn lượng giác.
• B3: Tìm số lần ${k_0}$ đi qua các trạng thái khảo sát trong thời gian $\tau$
• B4: Số lần qua trạng thái đã cho trong thời gian $t$ là \[N = m.k + {k_0}\]

Ví dụ 1

Ví dụ 1. Một vật dao động điều hòa có phương trình dao động $x = 13\cos \left( {3\pi t - \pi /6} \right)$, tìm số lần vật qua tọa độ ${x_0} = - 9$ tính từ thời điểm ${t_0} = 3\,{\text{s}}$ đến ${t_1} = 8,2\,{\text{s}}$.

- B1:
+ Chu kì $T = 2/3$
+ Phân tích: \[8,2 - 3 = 7T + 0,8T \Rightarrow m = 7,\,\,\tau = 0,8T = 8/15\,{\text{s}}.\] Để có được phân tích trên, bạn hãy lấy ${t_1} - {t_2}$ rồi chia cho chu kì 2/3, máy tính cho kết quả là 7,8. Phần nguyên của kết quả chính là $m$ (${m = 7}$), sau đó lấy kết quả trừ đi phần nguyên sẽ được 0,8. Tiếp tục lấy 0,8 nhân cho $T$ được $\tau$ ($\tau = 8/15$).
- B2:
+ Xác định tọa độ ${x_0} = - 9$, từ đó kẻ đường vuông góc trục chuẩn cắt đường tròn (O, R = 13) tại 2 điểm ${M_1}$ và ${M_2}$. Hai điểm này là biểu diễn Fresnel của trạng thái ${x_0} = - 9$.
+ Trạng thái đầu của dao động là trạng thái tại thời điểm ${t_0} = 3\,{\text{s}}$, lúc này pha của dao động là $3\pi {t_0} - \pi /6 = 5\pi /6$. Biểu diễn trên hình là vector ${{\mathbf{A}}_{\text{i}}}$
+ Trạng thái cuối cách trạng thái đầu một góc $\omega \tau = 3\pi .8/15 = 8\pi /5$ được biểu diễn bằng vector ${{\mathbf{A}}_{\text{f}}}$. Bạn cũng có thể xác định ${{\mathbf{A}}_{\text{f}}}$ theo góc hợp với trục chuẩn \[\begin{align} \omega \tau + {\varphi _{{{\text{A}}_{\text{i}}}}} &= 8\pi /5 + 5\pi /6 = 73\pi /30 = 438^\circ \hfill \\ &\leftrightarrow 438^\circ - 360^\circ = 78^\circ \hfill \\ \end{align} \] hoặc \[\omega {t_2} + \varphi = 3\pi .8,2 - \pi /6 = 4398^\circ \leftrightarrow 78^\circ.\] - B3: Từ ${{\mathbf{A}}_{\text{i}}}$, bán kính vector quay $m = 7$ vòng, trong một vòng luôn đi qua ${M_1}$ và ${M_2}$ ($k = 2$), sau 7 vòng, bán kính vector quay về vị trí ${{\mathbf{A}}_{\text{i}}}$ rồi quét thêm một góc $\omega \tau = 288^\circ$ đến vị trí ${{\mathbf{A}}_{\text{f}}}$, đi qua ${M_2}$ một lần nữa (${k_0} = 1$).
- B4: Tổng cộng, số lần vector biểu diễn của dao động (phasor) đi qua ${M_1}$ và ${M_2}$ là $N = 7.2 + 1 = 15$.

Thời điểm đi qua trạng thái cho trước lần thứ N

• B1: Đánh dấu các vị trí ứng với trạng thái khảo sát trên đường tròn lượng giác, số vị trí này là $k$ (thường là 1, 2 hoặc 4).
• B2: Phân tích $N = m.k + {k_0}$, $(0 < {k_0} \leqslant k)$
• B3: Từ vị trí xuất phát, để đi được ${k_0}$ lần, cần quét thêm góc $\varphi '$
• B4: Thời gian cần tìm $t = mT + \varphi '/\omega $

Ví dụ 2

Ví dụ 2. Cho dao động điều hòa $x = 4\cos \left( {4t + 1,71} \right)$ (cm), tìm thời điểm vật qua một trong hai vị trí đối xứng nhau qua vị trí cân bằng, cách nhau 3 cm lần thứ 13.

- Hai vị trí đó là $x = \pm 1,5\,{\text{cm}}$. Trong một chu kì, vật qua hai vị trí này 4 lần
- Phân tích: 13 = 3.4 + 1 nên $m = 3,\,{k_0} = 1$
- Từ pha +1,71 đi theo chiều dương đường tròn lượng giác tới vị trí $x = - 1,5\,{\text{cm}}$ cần một cung φ’ = 0,245 rad.
- Thời gian cần tìm: \[t = mT + \varphi '/\omega = 3.\pi /2 + 0,245/4 = 4,77\,{\text{s}}.\]