Quan hệ động lực giữa ròng rọc và dây kéo

Vì sao kéo dây lại làm ròng rọc quay? Áp lực mà dây nén lên ròng rọc được tính như thế nào?

Động lực học của ròng rọc

Ròng rọc và dây kéo

Đoạn dây tiếp xúc với ròng rọc là hệ gồm những đoạn rất nhỏ i. Phần đầu 1 và 2 chịu các lực ngoài ${{\mathbf{T}}_1}$ và ${{\mathbf{T}}_2}$, gọi ${{\mathbf{T}}_{i,i + 1}}$ là lực tác dụng của đoạn i lên đoạn i+1. Phương trình định luật 2 Newton cho đoạn dây là $$\begin{align} &({{\mathbf{T}}_1} + {{\mathbf{T}}_{2,1}}) + ({{\mathbf{T}}_{1,2}} + {{\mathbf{T}}_{3,2}}) + ... \hfill \\ &+ ({{\mathbf{T}}_{i - 1,i}} + {{\mathbf{T}}_{i + 1,i}}) + ... + {{\mathbf{T}}_2} + \hfill \\ &+ \sum\nolimits_i {{{\mathbf{N}}_i} + {{\mathbf{F}}_{{\text{ms}}i}}} = m{{\mathbf{a}}_G}.\hfill \\ \end{align}$$ Trong đó, $\sum\nolimits_i {{{\mathbf{N}}_i} + {{\mathbf{F}}_{{\text{ms}}i}}}$ là phản lực và ma sát do ròng rọc tác dụng lên mỗi phần của dây, các cặp ${{\mathbf{T}}_{i,i + 1}}$ và ${{\mathbf{T}}_{i + 1,i}}$ là nội lực nên triệt tiêu lẫn nhau. Phương trình quy về $${{\mathbf{T}}_1} + {{\mathbf{T}}_2} + \sum\nolimits_i {{{\mathbf{N}}_i} + {{\mathbf{F}}_{{\text{ms}}i}}} = m{{\mathbf{a}}_G}.$$ Nếu khối lượng dây không đáng kể thì $${{\mathbf{T}}_1} + {{\mathbf{T}}_2} + \sum\nolimits_i {{{\mathbf{N}}_i} + {{\mathbf{F}}_{{\text{ms}}i}}} = 0.$$

Ngược lại, ròng rọc chịu các áp lực và ma sát do từng phần của dây tác dụng lên $${{\mathbf{F}}_{{\text{pulley}}}} = \sum\nolimits_i {( - {{\mathbf{N}}_i}) + ( - {{\mathbf{F}}_{{\text{ms}}i}})} = {{\mathbf{T}}_1} + {{\mathbf{T}}_2}.$$ Gọi n là trục đối xứng của hệ và t là trục vuông góc với nó, các thành phần của lực tác dụng lên ròng rọc trên hai phương này là $$\begin{gathered} {F_{{\text{pulley/n}}}} = ({T_1} + {T_2})\sin (\theta /2), \hfill \\ {F_{{\text{pulley/t}}\,}} = \left| {{T_1} - {T_2}} \right|cos(\theta /2). \hfill \\ \end{gathered}$$

Vì các áp lực có phương vuông góc bề mặt ròng rọc còn ma sát và các lực căng dây luôn tiếp tuyến với bề mặt ròng rọc nên về mặt momen $${M_{{{\mathbf{F}}_{{\text{pulley}}}}}} = \sum\nolimits_i {{M_{ - {F_{{\text{ms}}i}}}}} + \underbrace {\sum\nolimits_i {{M_{ - {N_i}}}} }_{ = \,0} = {M_{{T_1}}} + {M_{{T_2}}}.$$ Khi bỏ qua khối lượng ròng rọc, phương trình momen cho ròng rọc sẽ là $${M_{{{\mathbf{F}}_{{\text{pulley}}}}}} = I\gamma = 0.$$ Điều này có nghĩa là hai lực căng dây ${{\mathbf{T}}_1}$ và ${{\mathbf{T}}_2}$ phải có cùng độ lớn ${T_1} = {T_2} = T$. Chúng nén lên ròng rọc một lực dọc theo trục đối xứng $${F_{{\text{pulley/n}}}} = 2T\sin (\theta /2).$$

Nếu dây không trượt trên ròng rọc thì ma sát giữa dây và ròng rọc là ma sát nghỉ vì mỗi điểm i tiếp xúc với dây trên bề mặt ròng rọc có xu hướng trượt về phía sau dẫn tới xuất hiện lực ma sát nghỉ giữ cho điểm này cùng gia tốc với dây. Định luật 2 Newton cho từng phần rất bé của dây $$\begin{gathered} - T - {F_{msn1}} + {T_{21}} = 0, \hfill \\ - {T_{12}} - {F_{msn2}} + {T_{32}} = 0, \hfill \\ .................... \hfill \\ - {T_{i - 1,i}} - {F_{msni}} + {T_{i + 1,i}} = 0. \hfill \\ \end{gathered}$$ Hệ quả của việc bỏ qua khối lượng ròng rọc là $\sum\nolimits_i {{M_{ - {F_{{\text{msn}}i}}}}} = 0$ hơn nữa momen ma sát nghỉ do từng phần dây i gây ra không âm nên ${F_{{\text{msn}}i}} = 0$. Kết quả là $${T_{21}} = {T_{32}} = {T_{i + 1,i}} = T.$$ hay nói cách khác lực căng dây truyền nguyên vẹn dọc theo dây.

Lực ma sát nghỉ bằng 0 có phải là một mâu thuẫn?

Kết luận này là do ta đã giả sử khối lượng của dây và ròng rọc bằng 0. Vì không có dây và ròng rọc nào như thế, các giá trị này nên hiểu là tiệm cận 0 thay vì bằng chính xác 0. Gia tốc dài của một điểm trên bề mặt ròng rọc là $$a \sim \mathop {\lim }\limits_{{m_{\text{p}}} \to 0} {F_{{\text{msn}}}}/{m_{\text{p}}}.$$ Vì a xác định hữu hạn nên ${F_{{\text{msn}}}} \propto {m_{\text{p}}}$. Như vậy, khi ròng rọc có khối lượng vô cùng bé thì lực ma sát nghỉ tác dụng lên nó cũng vô cùng bé. Về mặt Vật lý, ròng rọc quá nhẹ nên chỉ cần một lực rất nhỏ để nó bắt kịp tốc độ của dây. Ta dùng từ "chỉ cần" vì lực ma sát nghỉ có đặc điểm tăng đáp ứng (adapt) với lực kéo.