Sự tương tự điện – cơ và ứng dụng trong giải bài tập Vật lý

Sự tương tự giữa con lắc cơ học và mạch dao động LC trong dao động điều hòa là công cụ hữu ích để ghi nhớ các công thức và giải các bài tập về dao động điện từ một cách linh hoạt, nhanh chóng.

Con lắc lò xo	Mạch dao động LC
Li độ $x$	Điện tích $q$
Biên độ $A$	Điện tích cực đại ${Q_0}$
Vận tốc $$v = \frac{{dx}}{{dt}}$$	Cường độ dòng điện $$i = \frac{{dq}}{{dt}}$$
Vận tốc cực đại $${v_{\max }} = \omega A$$	Cường độ dòng điện cực đại $${I_0} = \omega {Q_0}$$
Vận tốc sớm pha $\pi /2$ so với li độ	Cường độ dòng điện sớm pha $\pi /2$ so với điện tích trên bản tụ
Khối lượng $m$	Hệ số tự cảm $L$
Độ cứng $k$	Nghịch đảo điện dung $1/C$
Đối của lực hồi phục $$- F = - ma = kx$$	Hiệu điện thế giữa hai bản tụ $u = \frac{q}{C}$ Suất điện động tự cảm $\varepsilon = - L\frac{{di}}{{dt}}$
Tần số riêng $$\sqrt {\frac{k}{m}}$$	Tần số riêng $$\sqrt {\frac{{1/C}}{L}} = \frac{1}{{\sqrt {LC} }}$$
Hệ thức độc lập với thời gian $$\frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}{A^2}}} = 1$$ $$\frac{{F_{{\text{hp}}}^2}}{{F_{{\text{hp max}}}^2}} + \frac{{{v^2}}}{{v_{\max }^2}} = 1$$	Hệ thức độc lập với thời gian $$\frac{{{q^2}}}{{Q_0^2}} + \frac{{{i^2}}}{{{\omega ^2}Q_0^2}} = 1$$ $$\frac{{{u^2}}}{{U_0^2}} + \frac{{{i^2}}}{{I_0^2}} = 1$$
Động năng $${W_{\text{d}}} = \frac{1}{2}m{v^2}$$	Năng lượng từ trường $${W_{\text{m}}} = \frac{1}{2}L{i^2}$$
Thế năng $${W_{\text{t}}} = \frac{1}{2}k{x^2}$$	Năng lượng điện trường $${W_{\text{e}}} = \frac{1}{2}\frac{{{q^2}}}{C} = \frac{1}{2}C{u^2}$$
Cơ năng $$\begin{align} W &= \frac{1}{2}k{x^2} + \frac{1}{2}m{v^2} \hfill \\ &= \frac{1}{2}k{A^2} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} \hfill \\ \end{align}$$	Năng lượng điện từ $$\begin{align} W &= \frac{1}{2}\frac{{{q^2}}}{C} + \frac{1}{2}L{i^2} \hfill \\ &= \frac{1}{2}\frac{{Q_0^2}}{C} = \frac{1}{2}L{\omega ^2}Q_0^2 \hfill \\ \end{align}$$

Ví dụ áp dụng

Ta có thể dùng tương tự điện cơ để dịch các mệnh đề về cơ sau thành các mệnh đề về điện.

1. Trong dao động điều hòa của con lắc, có sự chuyển hóa qua lại giữa thế năng và động năng nhưng tổng của chúng tức cơ năng luôn không đổi. Khi động năng đạt cực đại, thế năng bằng 0 và ngược lại. Động năng và thế năng cũng dao động tuần hoàn ngược pha nhau với chu kì bằng một nửa chu kì riêng của con lắc, tần số gấp đôi tần số riêng. Thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là 1/4 chu kỳ.

Trong dao động điện từ của mạch LC, có sự chuyển hóa qua lại giữa năng lượng điện trường và năng lượng từ trường nhưng tổng của chúng tức năng lượng điện từ không đổi. Khi năng lượng từ trường đạt cực đại, năng lượng điện trường bằng 0 và ngược lại. Năng lượng điện trường và năng lượng từ trường cũng dao động tuần hoàn ngược pha nhau với chu kì bằng một nửa chu kỳ riêng của mạch LC, tần số gấp đôi tần số riêng. Thời gian giữa hai lần liên tiếp năng lượng từ trường bằng năng lượng điện trường là 1/4 chu kỳ.

2. Khi vật dao động điều hòa, vận tốc của nó nhanh pha hơn li độ một góc $\pi/2$ trong khi gia tốc cũng như lực hồi phục thì dao động ngược pha với li độ.

Trong mạch dao động điện từ LC, cường độ dòng điện nhanh pha hơn điện tích một góc $\pi/2$ trong khi hiệu điện thế giữa hai bản tụ ngược pha với điện tích.

3. Thời gian ngắn nhất để con lắc di chuyển từ vị trí cân bằng đến các vị trí có li độ $A/2$, $A\sqrt 2 /2$, $A\sqrt 3 /2$, $A$ lần lượt là $T/12$, $T/8$, $T/6$ và $T/4$.

Thời gian ngắn nhất để điện tích trên bản tụ tăng từ 0 đến các giá trị ${Q_0}/2$, ${Q_0}\sqrt 2 /2$, ${Q_0}\sqrt 3 /2$, ${Q_0}$ lần lượt là $T/12$, $T/8$, $T/6$ và $T/4$.

4. Dao động của vật tắt nhanh hay chậm tùy thuộc vào độ lớn lực cản của môi trường.

Dao động điện từ trong mạch LC tắt nhanh hay chậm phụ thuộc vào điện trở R.

5. Có thể tăng chu kì dao động bằng cách treo thêm vào vật ${m_1}$ một khối lượng mới ${m_2}$. Chu kì mới sau đó được tính bằng công thức $${T^2} = T_1^2 + T_2^2$$ với ${T_1}$ và ${T_2}$ là các chu kì dao động nếu hệ chỉ có mỗi ${m_1}$ hay ${m_2}$.

Có thể tăng chu kỳ dao động của mạch LC bằng cách mắc nối tiếp với cuộn dây ${L_1}$ một cuộn dây ${L_2}$. Chu kỳ mới sau đó được tính bằng công thức $${T^2} = T_1^2 + T_2^2$$ với ${T_1}$ và ${T_2}$ là các chu kỳ dao động khi hệ chỉ có cuộn cảm ${L_1}$ hoặc ${L_2}$.

6. Có thể tăng chu kì dao động của con lắc lò xo bằng cách ghép nối tiếp thêm các lò xo khác có độ cứng ${k_i}$ để tạo thành một lò xo dài hơn. Lò xo ghép có độ cứng ${k_h}$ xác định từ $$\frac{1}{{{k_{\text{h}}}}} = \frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}} + ... + \frac{1}{{{k_{n - 1}}}} + \frac{1}{{{k_n}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{k_i}}}}.$$ Chu kì sau khi ghép $$T_{\text{h}}^2 = T_{_1}^2 + ... + T_{_n}^2 = \sum\limits_{i = 1}^n {T_i^2}$$ trong đó ${T_i}$ là chu kì dao động của con lắc khi chỉ mắc vào lo xo ${k_i}$.

Có thể tăng chu kì dao động của mạch LC bằng cách ghép song song các tụ điện có điện dung ${C_i}$ để tạo thành bộ tụ có điện dung ${C_h}$ được xác định như sau $${C_{\text{h}}} = {C_1} + {C_2} + ... + {C_{n - 1}} + {C_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}}.$$ Khi đó chu kỳ của mạch dao động là $${T^2} = T_{_1}^2 + T_{_2}^2... + T_{_n}^2 = \sum\limits_{i = 1}^n {T_i^2}$$ trong đó ${T_i}$ là chu kì dao động của mạch khi chỉ có từng tụ điện ${C_i}$.

7. Có thể giảm chu kì dao động của con lắc lò xo bằng cách mắc song song với lò xo sẵn có các lò xo khác có độ cứng ${k_i}$. Hệ lò xo song song có độ cứng ${k_h}$ xác định từ $${k_{\text{h}}} = {k_1} + {k_2} + ... + k{}_{n - 1} + {k_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {{k_i}}.$$ Chu kì sau khi ghép $$\frac{1}{{T_{\text{h}}^2}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{T_i^2}}}.$$

Có thể giảm chu kỳ dao động của mạch LC bằng cách mắc nối tiếp các tụ điện có điện dung ${C_i}$ để tạo thành bộ tụ có điện dung ${C_h}$ được xác định như sau $$\frac{1}{{{C_{\text{h}}}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} + ... + \frac{1}{{{C_{n - 1}}}} + \frac{1}{{{C_n}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{C_i}}}}.$$ Khi đó chu kì dao động của mạch là $$\frac{1}{{{T^2}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{T_i^2}}}.$$

Ở mệnh đề 6 và 7, việc thay thế máy móc các cụm từ “ghép lò xo song song” thành “ghép các tụ điện song song” hay “ghép lò xo nối tiếp” thành “ghép các tụ điện nối tiếp” sẽ tạo ra các mệnh đề sai. Điều này nói lên rằng tương tự điện-cơ chỉ là sự tương tự về mặt toán học, không có một tương tự nào về bản chất Vật lý của con lắc lò xo và mạch dao động LC.