Cực trị của quãng đường, thời gian và tốc độ trung bình trong dao động điều hòa
#Quãng đường lớn nhất/bé nhất mà vật dao động điều hòa đi được trong một thời gian cho trước.
#Thời gian lớn nhất/bé nhất mà vật dao động điều hòa đi được một quãng đường cho trước.
#Tốc độ trung bình lớn nhất/bé nhất trên một quãng đường hoặc thời gian cho trước.
- $m = \left\lfloor {\frac{t}{{T/2}}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{T/4}}{{T/2}}} \right\rfloor = \left\lfloor {0,5} \right\rfloor = 0$; $\tau = t - m\frac{T}{2} = T/4$.
- Quãng đường lớn nhất \[\begin{align} {s_{\max }} &= 2A\left( {m + \sin \frac{{\omega \tau }}{2}} \right) = 2A\left( {0 + \sin \frac{1}{2}\frac{{2\pi }}{T}\frac{T}{4}} \right) \hfill \\ &= A\sqrt 2 = 2,5\sqrt 2 . \hfill \\ \end{align}\]
- Xác định $T$ từ \[1 = \frac{{\arcsin ( - 1/2)}}{\pi }T + 2\frac{T}{2} \Rightarrow T = 1,2\,{\text{s}}.\]
- Thời gian ngắn nhất cần tìm: \[t = t' + m.T/2 = 0,25 + 2.(1,5/2) = 1,75\,s.\]
- Quãng đường cực đại tìm từ \[{s_{\max }} = 2A\left( {m + \sin \frac{{\omega \tau }}{2}} \right) = 2A\left( {0 + \sin \frac{1}{2}\frac{{2\pi }}{T}\frac{T}{3}} \right) = A\sqrt 3.\] - Tốc độ trung bình lớn nhất \[{v_{{\text{TB(max)}}}} = \frac{{{s_{\max }}}}{{T/3}} = \frac{{A\sqrt 3 }}{{T/3}} = \frac{{3\sqrt 3 A}}{{T}}.\]
#Thời gian lớn nhất/bé nhất mà vật dao động điều hòa đi được một quãng đường cho trước.
#Tốc độ trung bình lớn nhất/bé nhất trên một quãng đường hoặc thời gian cho trước.
Tìm quãng đường cực trị trong thời gian t
Các pha ban đầu ứng với quãng đường cực trị
- B1: tìm $m = \left\lfloor {\frac{t}{{T/2}}} \right\rfloor ,\tau = t - m\frac{T}{2}$
- B2:
- Để đi được ${s_{\min }}$ thì pha đầu là $\varphi = - \omega \tau /2,$
- Để đi được ${s_{\max }}$ thì pha đầu là $\varphi = - \omega \tau /2 + \pi/2.$ - B3: quãng đường cực trị tìm từ \[\begin{align} &{s_{\min }} = 2A\left( {m + 1 - \cos \frac{{\omega \tau }}{2}} \right), \hfill \\ &{s_{\max }} = 2A\left( {m + \sin \frac{{\omega \tau }}{2}} \right). \hfill \\ \end{align}\]
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa, khi qua vị trí cân bằng nó có tốc độ 50 cm/s, khi có gia tốc 8 m/s2 thì nó có tốc độ 30 cm/s. Quãng đường lớn nhất vật đi được sau ¼ chu kì dao động là bao nhiêu.
- Ta tìm được ω = 20 rad/s hay T = π/10 s và A = 2,5 cm- $m = \left\lfloor {\frac{t}{{T/2}}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{T/4}}{{T/2}}} \right\rfloor = \left\lfloor {0,5} \right\rfloor = 0$; $\tau = t - m\frac{T}{2} = T/4$.
- Quãng đường lớn nhất \[\begin{align} {s_{\max }} &= 2A\left( {m + \sin \frac{{\omega \tau }}{2}} \right) = 2A\left( {0 + \sin \frac{1}{2}\frac{{2\pi }}{T}\frac{T}{4}} \right) \hfill \\ &= A\sqrt 2 = 2,5\sqrt 2 . \hfill \\ \end{align}\]
Tìm chu kì khi biết quãng đường cực trị
- B1: tìm $m = \left\lfloor {\frac{{{s_{\max }}}}{{2A}}} \right\rfloor$ hoặc $m = \left\lceil {\frac{{{s_{\min }}}}{{2A}}} \right\rceil$; $\bar m = \frac{{{s_{\min /max}}}}{{2A}} - m$
- B2: Xác định $T$ từ \[t = \frac{{\arcsin \bar m}}{\pi }T + m\frac{T}{2}\]
- ${s_{\min }} = {s_{\max }}$ khi vật xuất phát từ biên hoặc vị trí cân bằng.
Ví dụ 2: Một dao động điều hòa có biên độ 6cm. Quãng đường ngắn nhất vật đi được trong 1 s là 18 cm. Tìm chu kì của dao động.
- $m = \left\lceil {\frac{{{s_{\min }}}}{{2A}}} \right\rceil = \left\lceil {\frac{{18}}{{2.6}}} \right\rceil = \left\lceil {1,5} \right\rceil = 2$; $\bar m = \frac{{18}}{{2.6}} - 2 = - 1/2$.- Xác định $T$ từ \[1 = \frac{{\arcsin ( - 1/2)}}{\pi }T + 2\frac{T}{2} \Rightarrow T = 1,2\,{\text{s}}.\]
Tìm thời gian cực trị
Các vị trí xuất phát cho thời gian cực trị
- B1: tìm $m = \left\lfloor {\frac{s}{{2A}}} \right\rfloor$, $s' = s - m.2A$
- B2:
- Để đi được ${t_{\min}}$ thì VT xuất phát là $x = s'/2$, đi về VTCB tới VT $x = - s'/2$
- Để đi được ${t_{\max}}$ thì VT xuất phát là $x = A - s'/2$, đi về biên gần nhất rồi quay lại VT xuất phát - B3: tìm thời gian $t'$ đi được quãng đường $s'$ ứng với pha đầu như trên
- B4: thời gian cực trị tìm từ $t = t' + m.T/2$
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình $x = 10\cos \left( {4\pi t/3 + \pi /2} \right)$ (cm). Tìm thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường 50 cm.
- Chu kì dao động 1,5 s. Tìm được \[m = \left\lfloor {\frac{s}{{2A}}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{{50}}{{2.10}}} \right\rfloor = \left\lfloor {2,5} \right\rfloor = 2\] và \[s' = s - m.2A = 50 - 2.(2.10) = 10.\]
- Để đi được ${t_{\min }}$ thì VT xuất phát là $x = s'/2 = +5$, đi về VTCB tới VT $x = -5$. Thời gian thực hiện chuyển động này là $2.\frac{T}{{12}} = 0,25\,{\text{s}}$.- Thời gian ngắn nhất cần tìm: \[t = t' + m.T/2 = 0,25 + 2.(1,5/2) = 1,75\,s.\]
Tìm tốc độ/vận tốc trung bình cực trị
Cần phân biệt vận tốc trung bình và tốc độ trung bình. Vận tốc trung bình được định nghĩa \[\bar v = \frac{{|\,\Delta x\,|}}{{\Delta t}} = \frac{{|\,x({t_2}) - x({t_1})\,|}}{{{t_2} - {t_1}}}.\] Chẳng hạn, vận tốc trung bình trong một chu kì và nửa chu kì lần lượt là $\bar v(T) = 0$ và $\,\bar v(T/2) = \frac{{4{x_0}}}{T}$ với ${x_0}$ là vị trí xuất phát. Tốc độ trung bình được định nghĩa như sau \[{v_{{\text{TB}}}} = \frac{s}{{\Delta t}}.\] Ví dụ, tốc độ trung bình trong một chu kì thì bằng tốc độ trung bình trong một nửa chu kì \[{v_{{\text{TB}}}}(T) = {v_{{\text{TB}}}}(T/2) = 4A/T.\]
Bài toán tốc độ trung bình cực trị quy về tìm quãng đường hoặc thời gian cực trị.
Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật có thể đạt được trong thời gian T/3 là bao nhiêu.
- Ta cần tìm quãng đường cực đại đi được trong thời gian t = T/3. Ta có $m = \left\lfloor {\frac{t}{{T/2}}} \right\rfloor = 0$ và $\tau = T/3$.- Quãng đường cực đại tìm từ \[{s_{\max }} = 2A\left( {m + \sin \frac{{\omega \tau }}{2}} \right) = 2A\left( {0 + \sin \frac{1}{2}\frac{{2\pi }}{T}\frac{T}{3}} \right) = A\sqrt 3.\] - Tốc độ trung bình lớn nhất \[{v_{{\text{TB(max)}}}} = \frac{{{s_{\max }}}}{{T/3}} = \frac{{A\sqrt 3 }}{{T/3}} = \frac{{3\sqrt 3 A}}{{T}}.\]