Cực trị của quãng đường, thời gian và tốc độ trung bình trong dao động điều hòa
#Quãng đường lớn nhất/bé nhất mà vật dao động điều hòa đi được trong một thời gian cho trước.
#Thời gian lớn nhất/bé nhất mà vật dao động điều hòa đi được một quãng đường cho trước.
#Tốc độ trung bình lớn nhất/bé nhất trên một quãng đường hoặc thời gian cho trước.
- m=⌊tT/2⌋=⌊T/4T/2⌋=⌊0,5⌋=0; τ=t−mT2=T/4.
- Quãng đường lớn nhất smax=2A(m+sinωτ2)=2A(0+sin122πTT4)=A√2=2,5√2.
- Xác định T từ 1=arcsin(−1/2)πT+2T2⇒T=1,2s.
- Thời gian ngắn nhất cần tìm: t=t′+m.T/2=0,25+2.(1,5/2)=1,75s.
- Quãng đường cực đại tìm từ smax=2A(m+sinωτ2)=2A(0+sin122πTT3)=A√3. - Tốc độ trung bình lớn nhất vTB(max)=smaxT/3=A√3T/3=3√3AT.
#Thời gian lớn nhất/bé nhất mà vật dao động điều hòa đi được một quãng đường cho trước.
#Tốc độ trung bình lớn nhất/bé nhất trên một quãng đường hoặc thời gian cho trước.

Tìm quãng đường cực trị trong thời gian t
- B1: tìm m=⌊tT/2⌋,τ=t−mT2
- B2:
- Để đi được smin thì pha đầu là φ=−ωτ/2,
- Để đi được smax thì pha đầu là φ=−ωτ/2+π/2. - B3: quãng đường cực trị tìm từ smin=2A(m+1−cosωτ2),smax=2A(m+sinωτ2).
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa, khi qua vị trí cân bằng nó có tốc độ 50 cm/s, khi có gia tốc 8 m/s2 thì nó có tốc độ 30 cm/s. Quãng đường lớn nhất vật đi được sau ¼ chu kì dao động là bao nhiêu.
- Ta tìm được ω = 20 rad/s hay T = π/10 s và A = 2,5 cm- m=⌊tT/2⌋=⌊T/4T/2⌋=⌊0,5⌋=0; τ=t−mT2=T/4.
- Quãng đường lớn nhất smax=2A(m+sinωτ2)=2A(0+sin122πTT4)=A√2=2,5√2.
Tìm chu kì khi biết quãng đường cực trị
- B1: tìm m=⌊smax2A⌋ hoặc m=⌈smin2A⌉; ˉm=smin/max2A−m
- B2: Xác định T từ t=arcsinˉmπT+mT2
- smin=smax khi vật xuất phát từ biên hoặc vị trí cân bằng.
Ví dụ 2: Một dao động điều hòa có biên độ 6cm. Quãng đường ngắn nhất vật đi được trong 1 s là 18 cm. Tìm chu kì của dao động.
- m=⌈smin2A⌉=⌈182.6⌉=⌈1,5⌉=2; ˉm=182.6−2=−1/2.- Xác định T từ 1=arcsin(−1/2)πT+2T2⇒T=1,2s.
Tìm thời gian cực trị
- B1: tìm m=⌊s2A⌋, s′=s−m.2A
- B2:
- Để đi được tmin thì VT xuất phát là x=s′/2, đi về VTCB tới VT x=−s′/2
- Để đi được tmax thì VT xuất phát là x=A−s′/2, đi về biên gần nhất rồi quay lại VT xuất phát - B3: tìm thời gian t′ đi được quãng đường s′ ứng với pha đầu như trên
- B4: thời gian cực trị tìm từ t=t′+m.T/2
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình x=10cos(4πt/3+π/2) (cm). Tìm thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường 50 cm.
- Chu kì dao động 1,5 s. Tìm được m=⌊s2A⌋=⌊502.10⌋=⌊2,5⌋=2 và s′=s−m.2A=50−2.(2.10)=10.
- Để đi được tmin thì VT xuất phát là x=s′/2=+5, đi về VTCB tới VT x=−5. Thời gian thực hiện chuyển động này là 2.T12=0,25s.- Thời gian ngắn nhất cần tìm: t=t′+m.T/2=0,25+2.(1,5/2)=1,75s.
Tìm tốc độ/vận tốc trung bình cực trị
Cần phân biệt vận tốc trung bình và tốc độ trung bình. Vận tốc trung bình được định nghĩa ˉv=|Δx|Δt=|x(t2)−x(t1)|t2−t1. Chẳng hạn, vận tốc trung bình trong một chu kì và nửa chu kì lần lượt là ˉv(T)=0 và ˉv(T/2)=4x0T với x0 là vị trí xuất phát. Tốc độ trung bình được định nghĩa như sau vTB=sΔt. Ví dụ, tốc độ trung bình trong một chu kì thì bằng tốc độ trung bình trong một nửa chu kì vTB(T)=vTB(T/2)=4A/T.
Bài toán tốc độ trung bình cực trị quy về tìm quãng đường hoặc thời gian cực trị.
Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và chu kì T. Tốc độ trung bình lớn nhất mà vật có thể đạt được trong thời gian T/3 là bao nhiêu.
- Ta cần tìm quãng đường cực đại đi được trong thời gian t = T/3. Ta có m=⌊tT/2⌋=0 và τ=T/3.- Quãng đường cực đại tìm từ smax=2A(m+sinωτ2)=2A(0+sin122πTT3)=A√3. - Tốc độ trung bình lớn nhất vTB(max)=smaxT/3=A√3T/3=3√3AT.