Thời gian di chuyển và quãng đường đi được trong dao động điều hòa

Tính toán nhanh thời gian di chuyển giữa hai vị trí và quãng đường đi được giữa hai thời điểm là một kĩ năng quan trọng cần thành thạo khi giải các bài toán hỗn hợp về dao động điều hòa.

Thời gian di chuyển từ tọa độ này đến tọa độ khác

Thời gian này phụ thuộc cách vật dao động di chuyển giữa hai vị trí ${x_1}$ và ${x_2}$

• Vật có thể đi trực tiếp từ ${x_1}$ tới ${x_2}$ và đây cũng là cách đi cho thời gian ngắn nhất trong mọi cách đi từ ${x_1}$ tới ${x_2}$.
• Vật đi từ ${x_1}$ tới biên, quay lại ${x_1}$ rồi mới tới ${x_2}$.

Trong cách di chuyển này, quỹ đạo của vật tự chồng lên chính nó, chẳng hạn đoạn $[{x_1} \to + A]$ chồng lên đoạn $[ + A \to {x_1}]$. Ta chỉ cần chia quỹ đạo thành những đoạn không tự chồng lên nhau rồi tính tổng thời gian thực hiện các đoạn đó. Vậy, bài toán đơn giản quy về cách di chuyển thứ 1.

Ta ghi nhớ các khoảng thời gian hay gặp sau

• Đi từ VTCB tới $x = A/2$ cần thời gian $T/12$
• Đi từ VTCB tới $x = A\sqrt 2 /2$ cần thời gian $T/8$
• Đi từ VTCB tới $x = A\sqrt 3 /2$ cần thời gian $T/6$
• Đi từ VTCB tới $x = A$ cần thời gian $T/4$

và tóm tắt trong hình dưới đây (hình vẽ không theo tỉ lệ)

Các thời gian cần ghi nhớ

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình $x = 10\cos \left( {4\pi t/3 + \pi /2} \right)$ (cm). Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ $x = 0$ cm đến $x = 10$ cm là bao nhiêu?

Thời gian ngắn nhất ứng với thời gian đi trực tiếp từ vị trí $x = 0$ đến vị trí $x = +10$ tức là từ VTCB tới biên. Thời gian này là $$\frac{T}{4} = \frac{1}{4}\frac{{2\pi }}{{4\pi /3}} = \frac{3}{8}\,\,{\text{s}}.$$

Ví dụ 2. Một con lắc lò xo dao động với biên độ $A$. Trong một chu kỳ thời gian dài nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ ${x_1} = - A/2$ đến vị trí có li độ ${x_2} = A/2$ là 1 s. Tìm chu kì dao động của con lắc.

Ví dụ 1

- Cách đi trực tiếp từ $-A/2$ tới $A/2$ cho thời gian ngắn nhất. Để đi trong thời gian dài nhất, con lắc sẽ di chuyển từ $-A/2$ tới biên $-A$ rồi từ $-A$ tới vị trí $A/2$ tức là 3 đoạn $[-A/2;-A]$, $[-A,0]$, $[0,A/2]$
- Thời gian đi đoạn thứ 1 $${t_{ - A/2 \to - A}} = {t_{0 \to - A}} - {t_{0 \to - A/2}} = \frac{T}{4} - \frac{T}{{12}} = \frac{T}{6}.$$ - Thời gian đi đoạn thứ 2 $${t_{ - A \to 0}} = {t_{0 \to - A}} = \frac{T}{4}.$$ - Thời gian đi đoạn thứ 3 $${t_{0 \to A/2}} = \frac{T}{{12}}.$$ - Tổng thời gian di chuyển là T/2 và cũng là 1 s nên $$T/2 = 1 \Rightarrow T = 2\,{\text{s}}.$$

Quãng đường đi được từ thời điểm t₀ đến thời điểm t₁

• B1: Tính ${u_0} = \omega {t_0} + \varphi ;{u_1} = \omega {t_1} + \varphi$
• B2: Từ bất đẳng thức $$\frac{{{u_0}}}{\pi } \leqslant k \leqslant \frac{{{u_1}}}{\pi }$$ suy ra ${k_0}$ và ${k_1}$ là các số nguyên bé nhất và lớn nhất thỏa bất đẳng thức trên
• B3:
  - Nếu không tồn tại cả ${k_0}$ và ${k_1}$, quãng đường được tính bằng công thức $$s = A(\cos {u_1} - \cos {u_0}).$$ - Nếu $\exists {k_0},{k_1}$ thì $$s = 2A({k_1} - {k_0} + 1) - A[{( - 1)^{{k_0}}}\cos {u_0} + {( - 1)^{{k_1}}}\cos {u_1}].$$

Ví dụ 3. Xét một vật dao động điều hòa theo phương trình ${x_2} = 4\cos \left( {5\pi t - \pi /3} \right)$ (cm), trong khoảng thời gian Δt = 0,6 s đầu tiên, vật đi được quãng đường bao nhiêu?

Ta có thể giải bài này bằng một số cách như sau
Cách 1:
- Chu kì dao động là 0,4 s.
- Khoảng thời gian 0,6 s gồm 1 chu kì và 1 nửa chu kì.
- Trong một chu kì vật đi được 4A, trong nửa chu kì vật đi được 2A. Tổng quãng đường đi được trong 0,6 s là 6A = 24 cm.
Cách 2: ta cần tìm quãng đường đi từ ${t_1} = 0$ s tới ${t_2} = 0,6$ s
- Tính $$\begin{align} &{u_0} = \omega {t_0} + \varphi = - \pi /3, \hfill \\ &{u_1} = \omega {t_1} + \varphi = 5\pi .0,6 - \pi /3 = 8\pi /3. \hfill \\ \end{align}$$ - Tìm ${k_0}$ và ${k_1}$ $$\begin{align} &\frac{{{u_0}}}{\pi } \leqslant k \leqslant \frac{{{u_1}}}{\pi } \hfill \\ \Leftrightarrow &\frac{{ - \pi /3}}{\pi } \leqslant k \leqslant \frac{{8\pi /3}}{\pi } \hfill \\ \Leftrightarrow &-0,3 \leqslant k \leqslant 2,7 \hfill \\ \Rightarrow &\,{k_0} = 0;\,{k_1} = 2. \hfill \\ \end{align}$$ - Quãng đường đi được $$\begin{align} s &= 2A({k_1} - {k_0} + 1) - A[{( - 1)^{{k_0}}}\cos {u_0} + {( - 1)^{{k_1}}}\cos {u_1}] \hfill \\ &= 2.4(2 - 0 + 1) - 4.[{( - 1)^0}\cos ( - \pi /3) + {( - 1)^2}\cos (8\pi /3)] \hfill \\ &= 24\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}$$

Ví dụ 4. Một vật dao động điều hòa với phương trình $x = 4\sin (5\pi t - \pi /4)$ (cm). Tìm quãng đường mà vật đi từ thời điểm ${t_1} = 0,1$ s đến thời điểm ${t_2} = 6$ s.

- Đầu tiên ta phải chuyển phương trình dao động về dạng chuẩn (dạng cosine) $$\begin{align} x &= 4\sin (5\pi t - \pi /4) = 4\cos (5\pi t - \pi /4 - \pi /2) \hfill \\ &= 4\cos (5\pi t - 3\pi /4). \hfill \\ \end{align}$$ - Tính các giá trị $$\begin{align} &{u_0} = 5\pi .0,1 - 3\pi /4 = - \pi /4 \hfill \\ &\Rightarrow {u_0}/\pi = - 0,25 \hfill \\ &\Rightarrow {k_0} = 0 \Rightarrow {( - 1)^{{k_0}}}\cos {u_0} = 1/\sqrt 2 , \hfill \\ &{u_1} = 5\pi .6 - 3\pi /4 = 117\pi /4 \hfill \\ &\Rightarrow {u_1}/\pi = 29,25 \hfill \\ &\Rightarrow {k_1} = 29 \Rightarrow {( - 1)^{{k_1}}}\cos {u_1} = 1/\sqrt 2 . \hfill \\ \end{align}$$ - Quãng đường đi được $$s = 4\sqrt 2 \left[ {2.(29 - 0 + 1) - (1/\sqrt 2 + 1/\sqrt 2 )} \right] = 331,4\,\,{\text{cm}}.$$