Dao động tắt dần do lực cản không đổi - Nâng cao

Các kiến thức nâng cao về dao động tắt dần do ma sát trượt: nghiệm giải tích của phương trình vi phân, chuyển động trong không gian trạng thái,...

Phương trình vi phân mô tả dao động

Xét một con lắc lò xo khối lượng $m$, lò xo có độ đàn hồi $k$ dao động trên mặt phẳng nằm ngang. Dao động của con lắc không vĩnh viễn mà tắt dần do ma sát trượt với mặt phẳng. Phương trình động lực học của dao động này trên phương ngang dưới tác dụng của lực đàn hồi và lực ma sát là \[{{\mathbf{F}}_{{\text{ms}}}} + {{\mathbf{F}}_{{\text{dh}}}} = m{\mathbf{a}}.\] Chiếu lên trục nằm ngang Ox \[\begin{align} &{F_{{\text{ms}}}} + {F_{{\text{dh}}}} = ma, \hfill \\ \Leftrightarrow \,\,&{F_{{\text{ms}}}} - kx = mx'', \hfill \\ \Leftrightarrow \,\,&x'' + {\omega ^2}x - \frac{{{F_{{\text{ms}}}}}}{m} = 0, \hfill \\ \end{align} \] trong đó $\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} $ và $x''$ là đạo hàm cấp 2 theo thời gian của vị trí $x$. Đặt ${x_{{\text{CO}}}}: = \frac{{{F_{{\text{ms}}}}}}{{m{\omega ^2}}}$ và giả sử lực ma sát đang dương thì phương trình vi phân trở thành \[(x - {x_{{\text{CO}}}})'' + {\omega ^2}(x - {x_{{\text{CO}}}}) = 0.\] Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân này là \[x - {x_{{\text{CO}}}} = {A^ * }\cos (\omega t + \varphi ).\]

Vấn đề là nghiệm này chỉ có giá trị trong mỗi nửa chu kì mà trên đó lực ma sát giữ nguyên chiều hay ${F_{{\text{ms}}}}$ giữ nguyên một dấu. Gọi $n$ là số thứ tự nửa chu kì (khoảng thời gian giữa 2 điểm dừng liên tiếp), trong mỗi nửa chu kì, con lắc dao động giữa các biên [A₀, A₁], [A₁, A₂], …, [A_n-1, A_n] trong đó ${A_0} > {A_1} > ... > {A_n}$ do dao động tắt dần. Giả sử rằng trong nửa chu kì đầu, con lắc chuyển động theo chiều âm hay lực ma sát luôn dương, các nghiệm trong từng nửa chu kì có dạng (tạm thời đặt pha ban đầu $\varphi = 0$) \[\begin{align} &{x_1}(t) = A_0^*\cos \omega t + \left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|,\,\,t \in [0;T/2], \hfill \\ &{x_n}(t) = A_{n - 1}^ * \cos \omega t + {( - 1)^{n - 1}}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|,\,\,t \in [(n - 1)T/2;nT/2]. \hfill \\ \end{align} \] Ta có thể tạo ra một nghiệm thống nhất bằng cách nối các đoạn này lại bằng điều kiện liên tục của chuyển động tại các thời điểm cuối mỗi nửa chu kì $t = nT/2$ \[\left\{ \begin{align} &{x_n}(t = nT/2) = {x_{n + 1}}(t = nT/2),\,\,&(1) \hfill \\ &{v_n}(t = nT/2) = {v_{n + 1}}(t = nT/2).\,\,&(2) \hfill \\ \end{align} \right.\] Từ đây \[\begin{gathered} A_n^ * \cos n\pi \, + {( - 1)^{n - 1}}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| = A_{n + 1}^ * \cos n\pi + {( - 1)^n}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|, \hfill \\ \Leftrightarrow A_n^ * - A_{n + 1}^ * = 2\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|, \hfill \\ \Leftrightarrow A_n^ * = A_0^ * - n2\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|. \hfill \\ \end{gathered} \] Các biên độ so với mốc zero (x = 0) là \[\begin{align} &{A_0} = A_0^ * + \left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|, \hfill \\ &{A_n} = {A_0} - n2\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|, \hfill \\ \end{align} \] có nghĩa là “Đối với các con lắc tắt dần do lực cản không đổi, biên độ thay đổi theo một cấp số cộng sau mỗi nửa chu kì với công sai $\Delta {A_{T/2}} = - 2\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|$ và sau mỗi chu kì với công sai $\Delta {A_T} = - 4\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|$”.
Điều kiện số (2) về vận tốc tự thoả mãn.

Đặt $k = \left\lfloor {\frac{{\omega t}}{\pi }} \right\rfloor $ trong đó $\left\lfloor x \right\rfloor $ là hàm floor(x) định nghĩa như sau \[\left\lfloor x \right\rfloor = m:\,\,\{ x - 1 < m \leqslant x,\,\,m \in \mathbb{Z}\}.\] Chẳng hạn $\left\lfloor 2 \right\rfloor = 2$, $\left\lfloor {2,4} \right\rfloor = 2$, $\left\lfloor { - 2} \right\rfloor = - 2$, $\left\lfloor { - 2,7} \right\rfloor = - 3$.

Khi $k = 0$ vật đang ở nửa chu kì thứ 1, khi $k = 1$ vật đang ở nửa chu kì thứ 2,..., $k = n – 1$ vật đang ở nửa chu kì thứ $n$, do đó một nghiệm ở nửa chu kì bất kì có thể biểu diễn qua $k$ \[\begin{align} {x_n}(t) & = A_{n - 1}^ * \cos \omega t + {( - 1)^{n - 1}}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| \hfill \\ & = \left( {{A_0} - (2n - 1)\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right)\cos \omega t + {( - 1)^{n - 1}}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| \hfill \\ & = \left\langle {{A_0} - (k + 1/2)2\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right\rangle \cos \omega t + {( - 1)^k}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|. \hfill \\ \end{align} \] Dùng dạng tường minh của $k$ và để ý các pha ban đầu khác nhau đến từ việc dời gốc thời gian, ta có nghiệm giải tích \[x = \left\langle {{A_0} - \left( {\left\lfloor {\frac{{\omega t + \varphi }}{\pi }} \right\rfloor + \frac{1}{2}} \right)2\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right\rangle \cos (\omega t + \varphi ) + {( - 1)^{\left\lfloor {\frac{{\omega t + \varphi }}{\pi }} \right\rfloor }}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|.\]

Ý nghĩa của ${x_{{\text{CO}}}}$?
Theo định nghĩa \[{x_{{\text{CO}}}} = {( - 1)^{\left\lfloor {\frac{{\omega t + \varphi }}{\pi }} \right\rfloor }}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|,\] phương trình dao động có dạng \[x - {x_{{\text{CO}}}} = {A^ * }\cos (\omega t + \varphi ).\] nghĩa là vật dao động điều hòa quanh vị trí $x = {x_{{\text{CO}}}}$ trong từng nửa chu kì, do đó vị trí này được gọi là tâm dao động. Có 2 vị trí như thế đối xứng nhau qua gốc zero và cứ mỗi lần đổi chiều chuyển động, vật lại đổi tâm dao động.
Ý nghĩa của A₀?

Hình 1. Đồ thị của một dao động tắt dần với lực cản không đổi.

Thường ta hay kích thích con lắc bằng cách kéo nó ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn ${x_0}$ rồi thả nhẹ, khi đó, con lắc dao động với biên độ ${A_0}$ = ${x_0}$. Tuy nhiên, nếu dao động khởi đầu với một kích thích $({x_0},{v_0})$ tức là kéo vật ra khỏi VTCB đoạn ${x_0}$ rồi cấp cho một vận tốc ${v_0}$ thì biên độ của dao động ${A_0} > \left| {{x_0}} \right|$ và từ lúc bắt đầu dao động (t = 0) đến khi tới biên gần nhất ${A_1}$ kéo dài chưa tới nửa chu kì. Có thể coi khoảng này như là một giai đoạn chuyển tiếp và ta sẽ mở rộng nó vào miền thời gian âm (phần đứt nét trong hình 1) để cho đủ một nửa chu kì. Nửa chu kì này bắt đầu bằng một kích thích $({A_0},0)$ lên con lắc sao cho sau đó nó đi qua trạng thái $({x_0},{v_0})$. Với ý nghĩa đó, ${A_0}$ tìm từ \[{\left( {{x_0} - {x_{{\text{CO}}}}} \right)^2} + \frac{{v_0^2}}{{{\omega ^2}}} = {\left( {{A_0} - \left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right)^2}.\] Phương trình này được sử dụng với những kích thích ban đầu có ${v_0}$ cùng chiều âm. Nhưng nếu ta chọn chiều âm của trục tọa độ là chiều của ${v_0}$ thì phương trình áp dụng cho mọi trường hợp.

Độ giảm cơ năng và biên độ

Gọi $A$ là biên độ của chu kì, cơ năng còn lại sau mỗi chu kì sẽ là \[E = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2}.\] Độ giảm tương đối của cơ năng sau mỗi chu kì \[\begin{align} \frac{{\left| {\Delta E} \right|}}{E} & = \frac{{E - E'}}{E} = \frac{{0,5k{A^2} - 0,5k{{A'}^2}}}{{0,5k{A^2}}} \hfill \\ & = 1 - {\left( {\frac{{A'}}{A}} \right)^2} = 2\frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{A} - \frac{{{{\left| {\Delta A} \right|}^2}}}{{{A^2}}}, \hfill \\ \end{align} \] với $\frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{A}$ là độ giảm tương đối của biên độ sau mỗi chu kì. Khi dao động tắt dần chậm ta có thể ngắt đi số hạng bậc 2, lúc này \[\frac{{\left| {\Delta E} \right|}}{E} \approx 2\frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{A}.\] Độ giảm cơ năng sau mỗi chu kì sẽ là \[\left| {\Delta E} \right| \approx 2\frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{A}\frac{E}{A} = m{\omega ^2}A\left| {\Delta A} \right|,\] trong đó $\left| {\Delta A} \right| = 4\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|$.

Khi nào còn lắc dừng lại?

Biên độ con lắc giảm dần nên sẽ có lúc lực đàn hồi cực đại nhỏ hơn lực ma sát trượt tức là nhỏ hơn ma sát nghỉ cực đại. Nếu điều kiện đó xảy ra, một khi con lắc dừng lại tại biên, lực ma sát nghỉ sẽ giữ cho con lắc không chuyển động nữa. Để ý $\Delta A$ là hằng số nên thương số \[\frac{{{A_0}}}{{\left| {\Delta A} \right|}} = \frac{{{A_0}}}{{4\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|}} = \frac{1}{4}\frac{{{F_{{\text{hp}}\max }}}}{F_{\text{c}}}\] cho một đánh giá tốt về số dao động thực hiện được cho tới khi tắt hẳn.
Kết quả này cũng áp dụng được cho con lắc đơn chịu lực cản trung bình ${\bar F_{\text{c}}}$ nhỏ \[N = \frac{1}{4}\frac{{{F_{{\text{hp}}\max }}}}{{{{\bar F}_{\text{c}}}}} = \frac{{mg{\alpha _0}}}{{4{{\bar F}_{\text{c}}}}}.\]

Hình 2. So sánh kết quả xấp xỉ cho số chu kì dao động toàn phần (đường màu đen) với kết quả chính xác (đường màu xanh).

Hình vẽ so sánh xấp xỉ $N = \frac{{{A_0}}}{{4\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|}}$ (đường màu đen) với kết quả chính xác (đường màu xanh) cho thấy sai khác luôn dưới một đơn vị. $\varepsilon = \frac{1}{N}$ là một đánh giá cho phần trăm thất thoát về biên độ so với chu kì trước, $\varepsilon$ càng bé tức thất thoát càng ít, dao động tắt càng chậm, số chu kì thực hiện được càng lớn.

Thời gian dao động?
Thời gian tắt dần là tổng số chu kì thực hiện được \[{t_{{\text{end}}}} = NT.\] Quãng đường đi được cho tới khi dao động dừng lại?
Công của lực ma sát trên toàn quá trình tắt dần bằng độ giảm cơ năng của vật \[\left| {{F_{{\text{ms}}}}} \right|{s_{{\text{end}}}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}A_0^2 - \frac{1}{2}m{\omega ^2}A_{2N}^2,\] chú ý thêm \[\begin{align} &{A_{2N}} = {A_0} - 2N.2\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|, \hfill \\ &\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| = \frac{{\left| {{F_{{\text{ms}}}}} \right|}}{{m{\omega ^2}}}, \hfill \\ \end{align} \] ta có \[\begin{align} {s_{{\text{end}}}} &= \frac{1}{2}\frac{{{A_0}}}{{\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|}}{A_0} - \frac{1}{2}\frac{{A_0^2}}{{\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|}}\underbrace {{{\left( {1 - N\frac{{4\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|}}{{{A_0}}}} \right)}^2}}_{ = \,0} \hfill \\ &= N2{A_0} = \frac{{N4{A_0}}}{2} \hfill \\ \end{align}\] tức là kém một nửa so với dao động tự do có cùng thời gian dao động.

Hệ thức độc lập với thời gian

Từ li độ dao động \[x = \left( {{A_0} - (2n - 1)\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right)\cos (\omega t + \varphi ) + {( - 1)^{n - 1}}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|\] ta tìm được vận tốc của dao động trong từng nửa chu kì \[x' = - \omega \left\langle {{A_0} - (2n - 1)\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right\rangle \sin(\omega t + \varphi ).\] Khử thời gian ở li độ và vận tốc được \[{\left( {x - {x_{{\text{CO}}}}} \right)^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {\left( {{A_0} - (2n - 1)\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right)^2}.\] Gọi các đại lượng quy chiếu theo tâm dao động là \[\begin{align} &\bar x = x - {x_{{\text{CO}}}}, \hfill \\ &{{\bar x}_{\max }} = {A_0} - (2n - 1)\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| = {A_{n - 1}} - \left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|, \hfill \\ &{v_{\max }} = {{\bar x}_{\max }}\omega , \hfill \\ \end{align} \] trong đó, ${v_{\max }}$ là vận tốc lớn nhất trong nửa chu kì thứ $n$, đạt được tại tâm cân bằng của nửa chu kì đó, ${\bar x_{\max }}$ là biên độ của nửa chu kì quy chiếu theo tâm dao động. Hệ thức độc lập với thời gian có dạng ellipse \[\frac{{{{\bar x}^2}}}{{\bar x_{\max }^2}} + \frac{{{v^2}}}{{v_{\max }^2}} = 1.\] Cứ sau mỗi nửa chu kì, ${\bar x_{\max }}$, ${v_{\max }}$ thay đổi do biên độ thay đổi và tâm dao động đổi dấu (chuyển qua vị trí đối xứng bên kia gốc zero) nên hệ thức độc lập với thời gian chỉ áp dụng cho từng nửa chu kì.

Ví dụ 1: Biết hệ số ma sát với sàn là 0,1 và tần số riêng là 10 rad/s, kéo con lắc lò xo khỏi vị trí tĩnh một đoạn 10 cm rồi buông nhẹ. Tìm vận tốc qua vị trí cân bằng lần thứ 2 của con lắc.

- Con lắc qua VTCB (x = 0) lần thứ 2 trong nửa chu kì thứ 2 (n = 2)
- TDĐ $\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| = \frac{{\mu g}}{{{\omega ^2}}} = 1\,\,{\text{cm}}$;
- Biên độ nửa chu kì thứ 2
${A_1} = {A_0} - (2 - 1).2\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| = 10 - 2 = 8\,\,{\text{cm}}.$ \[\begin{align} &{\left( {x + {{( - 1)}^n}\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right)^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {\left( {{A_{n - 1}} - \left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right|} \right)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \,\,&{\left( {0 + {{( - 1)}^2}.1} \right)^2} + \frac{{{v^2}}}{{{{10}^2}}} = {\left( {8 - 1} \right)^2} \hfill \\ \Rightarrow \,\,&v = 69,28\,\,{\text{cm}}{\text{/}}{\text{s}}. \hfill \\ \end{align}\]

Ví dụ 2: Biết hệ số ma sát với sàn là 0,1 và tần số riêng là 10 rad/s, kéo con lắc lò xo khỏi vị trí tĩnh một đoạn 10 cm rồi cấp cho vận tốc 2 m/s ngược chiều biến dạng của lò xo. Tìm vận tốc lớn nhất của con lắc.

- TDĐ $\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| = \,\,1\,\,{\text{cm}}$
- Chọn chiều vận tốc làm chiều âm, x₀ = +10 cm thì \[\begin{align} &{({x_0} - {x_{CO}})^2} + \frac{{v_0^2}}{{{\omega ^2}}} = {({A_0} - \left| {{x_{CO}}} \right|)^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \,\,&{(10 - 1)^2} + \frac{{{{200}^2}}}{{{{10}^2}}} = {({A_0} - 1)^2} \hfill \\ \Rightarrow \,\,&{A_0} = 23\,\,\text{cm}. \hfill \\ \end{align} \] Vận tốc lớn nhất của con lắc đạt được trong nửa chu kì đầu tiên (n = 1) tại $x = {x_{\text{CO}}}$, ta có \[\begin{align} &{{\bar x}_{\max }} = {A_0} - (2n - 1)\left| {{x_{{\text{CO}}}}} \right| = 23 - (2.1 - 1).1 = 22\,\,\text{cm}, \hfill \\ &{v_{\max }} = {{\bar x}_{\max }}\omega = 220\,\,\text{cm/s}\,\, = 2,2\,\,\text{m/s}. \hfill \\ \end{align} \]

Phương trình độc lập với thời gian trong hệ trục (Ox, Ov)

\[\frac{{{{\bar x}^2}}}{{\bar x_{\max }^2}} + \frac{{{v^2}}}{{v_{\max }^2}} = 1.\] Ta có thể tham số hóa phương trình này như sau \[\begin{align} &\bar x = {{\bar x}_{\max }}\cos m \Rightarrow x = {{\bar x}_{\max }}\cos m + {x_{{\text{CO}}}}, \hfill \\ &v = {v_{\max }}\sin m = - {{\bar x}_{\max }}\omega \sin m. \hfill \\ \end{align} \] Theo cách tham số hóa này, $m$ đóng vai trò như pha của dao động. Tại $m = 0$ cho nửa chu kì đầu tiên \[\begin{align} &{x_{n = 1}}(0) = {{\bar x}_{n = 1}}(0) + {x_{{\text{CO}}}} = {A_0}, \hfill \\ &{v_{n = 1}}(0) = 0, \hfill \\ \end{align}\] Đây là trạng thái xuất phát cho nửa chu kì thứ 1, trong nửa chu kì này, $m$ sẽ quét từ 0 tới $π$. Sau đó chuyển sang nửa chu kì tiếp theo, ${\bar x_{\max }}$, ${v_{\max }}$ phải được tính lại, ${x_{{\text{CO}}}}$ đổi dấu. Mỗi nửa chu kì thứ $n$ ứng với $m \in [(n - 1)\pi ;n\pi ]$.

Hình 3. Chuyển động trong không gian trạng thái.

Nếu kích thích với vận tốc đầu khác 0, điểm xuất phát của dao động (start point) không trùng với điểm khởi đầu ${A_0}$ của nửa chu kì thứ nhất. Từ ${A_0}$ tới “start point” là phần mở rộng vào miền thời gian âm của nửa chu kì thứ nhất. Từ “start point” tới biên kế tiếp là phần chuyển tiếp của dao động. Chuyển động trong không gian pha (x, v) không khép kín mà xoáy dần vào điểm zero là đặc trưng động lực học của các hệ tiêu tán năng lượng.