Bài tập mẫu về lực, chiều dài lò xo trong con lắc

Bài tập khảo sát kiến thức về lực hồi phục, lực đàn hồi và các cực trị của chúng; trạng thái của lò xo, dây treo thỏa mãn tính chất của chuyển động,... Kiến thức cần thiết cho các bài tập dạng này có thể tìm thấy trong các bài viết sau

• Một số lưu ý về con lắc lò xo dao động thẳng đứng
• Cực trị của quãng đường, thời gian và tốc độ trung bình trong dao động điều hòa
• Sự tương tự giữa con lắc lò xo và con lắc đơn trong dao động điều hòa
• Sự tương tự điện – cơ và ứng dụng trong giải bài tập Vật lý
Bạn thử tự giải trước khi xem đáp án nhé :)

1. Một lò xo treo thẳng đứng, đầu bên dưới treo vật nặng. Kích thích hệ dao động điều hòa thì thấy chu kì là 0,6 s. Cho g = π² m/s², tìm độ giãn của lò xo ở vị trí cân bằng.
   \[{\omega ^2} = \frac{g}{{\Delta l}} \Rightarrow \Delta l = \frac{g}{{{\omega ^2}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{{\frac{{4{\pi ^2}}}{{{T^2}}}}} = \frac{{{T^2}}}{4} = 0,09\,\,{\text{m}} = 9\,\,{\text{cm}}.\]


2. Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình x = 4cos(10t + φ) cm. Chiều dài tự nhiên của con lắc lò xo là 26 cm. Chiều dài ngắn nhất của lò xo trong quá trình dao động là bao nhiêu?
   Ta có thể sử dụng công thức \[{l_{\min }} = {l_0} + \Delta l - A\] với lưu ý rằng con lắc lò xo dao động theo phương ngang nên $\Delta l = 0$, \[{l_{\min }} = {l_0} + \Delta l - A = 26 + 0 - 4 = 22\,\,{\text{cm}}.\]


3. Thời gian ngắn nhất từ lúc con lắc lò xo có chiều dài cực đại đến lúc có chiều dài cực tiểu là 0,158 s. Biết khối lượng vật treo của con lắc là 0,25 kg. Lấy π² = 10. Tìm độ lớn lực hồi phục khi vật nặng có li độ x = 3 cm.
   Con lắc lò xo có chiều dài cực đại và cực tiểu ở 2 biên, do đó, thời gian ngắn nhất mà đề bài nhắc tới chính là thời gian di chuyển từ biên này tới biên kia, thời gian này là T/2. Theo đề ta có ngay \[\begin{align} & T/2 = 0,158 \hfill \\ \Rightarrow \,\,& T = 0,316\,\,{\text{s}} \hfill \\ \Rightarrow \,\,& k = \frac{{4{\pi ^2}m}}{{{T^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}.0,25}}{{0,{{316}^2}}} = 100\,\,N/m. \hfill \\ \end{align}\] Lực hồi phục \[\left| {{F_{{\text{hp}}}}} \right| = k\left| x \right| = 100.0,03 = 3\,\,{\text{N}}.\]


4. Con lắc lò xo treo thẳng đứng tại nơi có g = 10 m/s². Khi kích thích nó dao động điều hòa với phương trình $x = 6\cos (5\sqrt 5 t + \pi /2)$ cm và chiều dài ngắn nhất của lò xo trong quá trình dao động là 18 cm. Chiều dài tự nhiên của lò xo là bao nhiêu?
   Độ giãn lò xo ở VTCB \[\Delta l = \frac{g}{{{\omega ^2}}} = \frac{{10}}{{{{(5\sqrt 5 )}^2}}} = 0,08\,\,{\text{m}} = 8\,\,{\text{cm}}.\] Chiều dài tự nhiên của lò xo tìm từ \[\begin{align} {l_{\min }} &= {l_0} + \Delta l - A \hfill \\ \Rightarrow {l_0} &= {l_{\min }} - \Delta l + A = 18 - 8 + 6 = 16\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


5. Lực kéo về tác dụng lên con lắc đơn dao động điều hòa là: $-mg\alpha$; $-mgl{\alpha ^2}$; $-mg\cos\alpha$ hay $-mgl\alpha$.
   Đáp án A.


6. Một vật có m = 100 g dao động điều hoà với chu kì T = 1 s, vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng là v₀ = 10π cm/s, lấy π² = 10. Hợp lực cực đại tác dụng vào vật trong quá trình dao động là bao nhiêu?
   Hợp lực lên vật chính là lực hồi phục. Lực hồi phục cực đại tại biên của dao động \[{F_{{\text{hp}}\max }} = kA.\] Độ cứng của lò xo tìm từ khối lượng vật nặng và chu kì dao động \[k = \frac{{4{\pi ^2}m}}{{{T^2}}} = \frac{{4{\pi ^2}0,1}}{{{1^2}}} = 4\,\,{\text{N}}{\text{/}}{\text{m}}.\] Biên độ dao động tìm từ vận tốc qua vị trí cân bằng (hay vận tốc/tốc độ cực đại trong dao động) \[{v_{\max }} = \omega A \Rightarrow A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = \frac{{{v_{\max }}}}{{2\pi /T}} = \frac{{10\pi }}{{2\pi /1}} = 5\,\,{\text{cm}}.\] Vậy, \[{F_{{\text{hp}}\max }} = kA = 4.0,05 = 0,2\,\,{\text{N}}.\]


7. Một con lắc lò xo gồm vật khối lượng m = 200 g treo vào lò xo có độ cứng k = 40 N/m. Vật dao động theo phương thẳng đứng trên quĩ đạo dài 10 cm, chọn chiều dương hướng xuống. Cho biết chiều dài tự nhiên là 40 cm. Khi vật dao động thì chiều dài lò xo biến thiên trong khoảng nào? Lấy g = 10 m/s².
   Quỹ đạo dao động dài 10 cm => A = 5 cm.
   Độ giãn lò xo ở VTCB khi treo thẳng đứng \[\Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,2.10}}{{40}} = 0,05\,\,{\text{m}} = 5\,\,{\text{cm}}.\] Chiều dài lò xo biến thiên từ l_min tới l_max \[\begin{align} {l_{\min }} = {l_0} + \Delta l - A = 40 + 5 - 5 = 40\,\,{\text{cm}}, \hfill \\ {l_{\max }} = {l_0} + \Delta l + A = 40 + 5 + 5 = 50\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


8. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật m = 100 g, lò xo có độ cứng k = 100 N/m. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng x = +2 cm và truyền vận tốc v = $+200\sqrt 3$ cm/s theo phương lò xo. Cho g = π² = 10 m/s², trong quá trình dao động, lực đàn hồi cực đại và cực tiểu của lò xo có giá trị bao nhiêu?
   Tần số góc của dao động \[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{100}}{{0,01}}} = 100\,\,{\text{rad}}{\text{/}}{\text{s}}.\] Đề bài cho trạng thái của vật (gồm vị trí và vận tốc tại đó) => tìm được biên độ của dao động nhờ vào hệ thức độc lập với thời gian \[\begin{gathered} \frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}{A^2}}} = 1 \hfill \\ \Rightarrow A = \sqrt {{x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \sqrt {{2^2} + \frac{{200{{\sqrt 3 }^2}}}{{{{100}^2}}}} = 4\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{gathered}\] Lực đàn hồi cực tiểu phụ thuộc vào tương quan giữa biên độ dao động và độ giãn lò xo ở VTCB. Vì \[\Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,1.10}}{{100}} = 0,01\,\,{\text{m}} = 1\,\,{\text{cm}} < A\] cho nên ${F_{{\text{dh}}\min }} = 0$ còn \[{F_{{\text{dh}}\max }} = k(A + \Delta l) = 100(4 + 1){.10^{ - 2}} = 5\,\,{\text{N}}.\]


9. Vật nhỏ treo dưới lò xo nhẹ, khi vật cân bằng thì lò xo giãn 5 cm. Cho vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ A thì lò xo luôn giãn và lực đàn hồi của lò xo có giá trị cực đại gấp 3 lần giá trị cực tiểu. Tìm biên độ dao động.
   “lực đàn hồi của lò xo có giá trị cực đại gấp 3 lần giá trị cực tiểu” cho thấy lực đàn hồi cực tiểu khác 0 \[\begin{align} &\frac{{{F_{{\text{dh}}\max }}}}{{{F_{{\text{dh}}\min }}}} = \frac{{k(\Delta l + A)}}{{k(\Delta l - A)}} = \frac{{\Delta l + A}}{{\Delta l - A}} = 3 \hfill \\ &\Rightarrow \Delta l + A = 3\Delta l - 3A \hfill \\ &\Rightarrow A = \Delta l/2 = 5/2 = 2,5\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


10. Một lò xo có k = 100 N/m treo thẳng đứng. Treo vào lò xo một vật có khối lượng m = 250 g. Từ vị trí cân bằng nâng vật lên một đoạn 5 cm rồi buông nhẹ. Lấy g = 10 m/s². Chiều dương hướng xuống. Tìm lực nén cực đại của lò xo.
    - “Từ vị trí cân bằng nâng vật lên một đoạn 5cm rồi buông nhẹ” => A = 5 cm.
    - Độ giãn của lò xo \[\Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,25.10}}{{100}} = 0,025\,\,{\text{m}} = 2,5\,\,{\text{cm}}.\] - Lò xo chỉ bị nén khi dao động trong khoảng từ biên trên tới vị trí mà nó không biến dạng. Lực nén cực đại chính là lực đàn hồi tại biên trên \[\left| {{F_{{\text{dh}}}}(x = - A)} \right| = k\left| {\Delta l - A} \right| = 100.\left| {2,5 - 5} \right|{.10^{ - 2}} = 2,5\,\,{\text{N}}.\]


11. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật m = 150 g, lò xo có k = 10 N/m. Lực kéo cực tiểu tác dụng lên vật là 0,1 N. Cho g = 10 m/s² thì biên độ dao động của vật là bao nhiêu?
    - Độ giãn lò xo ở VTCB \[\Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,15.10}}{{100}} = 0,015\,\,{\text{m}} = 1,5\,\,{\text{cm}}.\] - Lò xo chỉ kéo trong miền từ l₀ tới biên dưới. Lực kéo/lực đàn hồi cực tiểu lại khác 0 chứng tỏ $A < \Delta l$ \[\begin{align} &\left| {{F_{{\text{dh}}\,{\text{min}}}}} \right| = k(\Delta l - A) = 0,1\,\,{\text{N}} \hfill \\ &\Rightarrow 10(1,{5.10^{ - 2}} - A) = 0,1 \hfill \\ &\Rightarrow A = {5.10^{ - 3}}{\text{m}} = 0,5\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


12. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng khi cân bằng lò xo giãn 3 cm. Bỏ qua mọi lực cản, kích thích cho vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng thì thấy thời gian lò xo bị nén trong một chu kì là T/3 (T là chu kì dao động của vật). Biên độ dao động của vật bằng bao nhiêu?
    - Khi dao động thẳng đứng, lò xo chỉ bị nén nếu biên độ dao động lớn hơn độ giãn tại VTCB tức là A > 3 cm và vùng bị nén là từ l₀ tới biên trên hay đoạn $[\Delta l,A]$ nếu chọn chiều dương hướng lên.
    - Trong một chu kì, vật dao động đi qua đoạn này 2 lần nên \[2{t_{[\Delta l,A]}} = \frac{T}{3} \Rightarrow {t_{[\Delta l,A]}} = \frac{T}{6}\] - Ta có phân tích ${t_{[\Delta l,A]}} = {t_{[O,A]}} - {t_{[O,\Delta l]}}$ dẫn tới \[{t_{[O,\Delta l]}} = {t_{[O,A]}} - \frac{T}{6} = \frac{T}{4} - \frac{T}{6} = \frac{T}{{12}}\] - Từ sơ đồ di chuyển \[\Delta l = A/2 \Rightarrow A = 2\Delta l = 2.3 = 6\,\,{\text{cm}}.\]


13. Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật có khối lượng 250 g và một lò xo nhẹ có độ cứng 100 N/m. Kích thích cho vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ 5 cm. Thời gian lò xo bị giãn trong một chu kì là bao nhiêu?
    - Chu kì dao động \[T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,25}}{{100}}} = \frac{\pi }{{10}}\,\,{\text{s}}.\] - Độ giãn lò xo ở VTCB là \[\Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,25.10}}{{100}} = 0,025\,\,{\text{m}} = 2,5\,\,{\text{cm}}.\] - Vì $A > \Delta l$ nên lò xo giãn trên đoạn $[ - \Delta l;A]$ nếu chọn chiều dương hướng xuống. Chú ý rằng $\Delta l = A/2$ nên \[\begin{align} &\,{t_{[ - \Delta l;A]}} = {t_{[ - A/2;A]}} \hfill \\ &= {t_{[ - A/2;O]}} + {t_{[O,A]}} = \frac{T}{{12}} + \frac{T}{4} = \frac{\pi }{{30}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\text{s}}. \hfill \\ \end{align} \] - Trong một chu kì, đoạn này được lặp lại 2 lần nên thời gian cần tìm là π/15 s.


14. Vật nhỏ treo dưới lò xo nhẹ, khi vật cân bằng thì lò xo giãn 15 cm. Cho vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ A thì lò xo luôn giãn và lực đàn hồi của lò xo có giá trị cực đại gấp 2 lần giá trị cực tiểu. Khi này, A có giá trị là?
    - Lò xo luôn giãn chứng tỏ A < Δl
    - Tỉ số \[\begin{align} &\frac{{{F_{{\text{dh}}\max }}}}{{{F_{{\text{dh}}\min }}}} = \frac{{k(\Delta l + A)}}{{k(\Delta l - A)}} = \frac{{\Delta l + A}}{{\Delta l - A}} = 2 \hfill \\ &\Rightarrow \Delta l + A = 2\Delta l - 2A \hfill \\ &\Rightarrow A = \Delta l/3 = 15/3 = 5\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


15. Con lắc lò xo dao động theo phương trình x = 20cos(10t + φ) cm. Thời điểm ban đầu người ta kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn x theo chiều dương và truyền cho vật một vận tốc ban đầu v = 1 m/s theo chiều âm. Biết khối lượng của vật nặng bằng 100 g. Tìm lực kéo vật ban đầu và pha ban đầu của dao động?
    - Đề cho ta biên độ, tần số của dao động và một thông số trạng thái của chuyển động là vận tốc tại vị trí x. Từ đây ta dễ dàng tìm được li độ ban đầu x nhờ vào hệ thức độc lập với thời gian \[\begin{align} & {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} \hfill \\ \Rightarrow \,\,& x = \pm \sqrt {{A^2} - \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}} = \pm \sqrt {{{20}^2} - \frac{{{{100}^2}}}{{{{10}^2}}}} = \pm 10\sqrt 3 \,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align} \] Vì x > 0 nên ta chọn $x = 10\sqrt 3 \,\,{\text{cm}}.$
    - Lực do tay kéo giữ vật ban đầu có độ lớn bằng lực hồi phục tại vị trí đó (vị trí x) \[\left| {{F_{{\text{hp}}}}} \right| = k\left| x \right| = m{\omega ^2}\left| x \right| = 0,{1.10^2}.10\sqrt 3 {.10^{ - 2}} = \sqrt 3 \,\,{\text{N}}.\] - Vận tốc ban đầu âm, li độ ban đầu dương => pha ban đầu nằm trong góc phần tư thứ nhất \[\begin{align} &x = A\cos \varphi , \hfill \\ &v = - A\omega \sin \varphi , \hfill \\ &\Rightarrow \tan\varphi = - \frac{v}{{\omega x}} = - \frac{{ - 100}}{{10.10\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}. \hfill \\ \end{align}\]


16. Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng có năng lượng dao động E = 2.10^-2 J, lực đàn hồi cực đại của lò xo F_max = 4 N. Lực đàn hồi của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là F = 2 N. Biên độ dao động sẽ là?
    \[\left\{ \begin{gathered} {F_{{\text{dh}}\max }} = k(A + \Delta l) = 4 \hfill \\ {F_{{\text{dh}}}}(VTCB) = k\Delta l = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{align} &\frac{{A + \Delta l}}{{\Delta l}} = 2 \Rightarrow A = \Delta l, \hfill \\ &k = 2/A. \hfill \\ \end{align} \right.\] - Năng lượng dao động \[\begin{align} &E = \frac{1}{2}k{A^2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{2}{A}{A^2} = {2.10^{ - 2}} \hfill \\ &\Rightarrow A = {2.10^{ - 2}}\,\,{\text{m}} = 2\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


17. Một lò xo có k = 1 N/cm treo thẳng đứng. treo vào lò xo một vật có khối lượng m = 0,2 kg. Từ vị trí cân bằng nâng vật lên một đoạn 5 cm rồi buông nhẹ. Lấy g = 10 m/s². Tìm giá trị cực đại của lực phục hồi, lực đàn hồi.
    - “từ vị trí cân bằng nâng vật lên một đoạn 5cm rồi buông nhẹ” => A = 5 cm.
    - Độ cứng \[k = 1\,\,\frac{{\text{N}}}{{{\text{cm}}}} = 1\,\,\frac{{\text{N}}}{{{\text{1}}{{\text{0}}^{ - 2}}\,{\text{m}}}} = 100\,\,{\text{N}}{\text{/}}{\text{m}}\] - Độ giãn lò xo treo thẳng đứng tại VTCB là \[\Delta l = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,2.10}}{{100}} = 0,02\,\,{\text{m}} = 2\,\,{\text{cm}}.\] - Các giá trị cực đại \[\begin{align} &\left| {{F_{{\text{hp}}\max }}} \right| = kA = {100.5.10^{ - 2}} = 5\,\,{\text{N}}, \hfill \\ &\left| {{F_{dh\max }}} \right| = k(\Delta l + A) = 100.(0,02 + {5.10^{ - 2}}) = 7\,\,N. \hfill \\ \end{align} \]


18. Một con lắc lò xo thẳng đứng có m = 400 g dao động điều hoà. Lực đàn hồi cực đại của lò xo là 6 N, khi vật qua vị trí cân bằng lực đàn hồi của lò xo là 4 N. Gia tốc cực đại của vật?
    \[\begin{align} \left\{ \begin{gathered} {F_{{\text{dh}}\max }} = k(A + \Delta l) = 6 \hfill \\ {F_{{\text{dh}}}}(VTCB) = k\Delta l = 4 \,\,\hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \frac{{A + \Delta l}}{{\Delta l}} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2A = \Delta l. \hfill \\ \end{align} \] Gia tốc cực đại \[{a_{\max }} = {\omega ^2}A = \frac{g}{{\Delta l}}A = \frac{g}{{2A}}A = g/2 = 5\,\,{\text{m}}{\text{/}}{{\text{s}}^{\text{2}}}.\]


19. Con lắc lò xo khối lượng m = 1,41 kg dao động điều hoà theo phương nằm ngang. Vận tốc của vật có độ lớn cực đại bằng 60 cm/s. Chọn thời điểm t = 0 lúc vật đi qua vị trí x₀ = 3√2 cm và tại đó thế năng bằng động năng. Độ lớn của lực đàn hồi tại thời điểm t = π/20 s là bao nhiêu?
    - Tỉ số động năng trên thế năng \[\frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = {\left( {\frac{A}{x}} \right)^2} - 1.\] - Tại x₀ = 3 cm thế năng bằng động năng hay $\frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = 1$ do đó \[1 = {\left( {\frac{A}{{{x_0}}}} \right)^2} - 1 \Rightarrow A = \sqrt 2 \left| {{x_0}} \right| = 6\,\,{\text{cm}}.\] - Vận tốc cực đại \[\begin{align} &\,{v_{\max }} = \omega A \hfill \\ &\Rightarrow \omega = \frac{{{v_{\max }}}}{A} = \frac{{60}}{6} = 10\,\,{\text{rad}}{\text{/}}{\text{s}} \hfill \\ &\Rightarrow T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{10}} = \frac{\pi }{5}\,\,{\text{s}}. \hfill \\ \end{align}\] - $t = \pi /20$ là 1/4 chu kì. Từ vị trí ${x_0} = A\sqrt 2 /2$ hay vị trí động năng bằng thế năng, sau 1/4 chu kì, vật sẽ quay lại vị trí x₀ (nếu đi tới biên gần nhất) hoặc tới vị trí -x₀ (nếu đi về phía VTCB). Độ lớn lực đàn hồi tại 2 vị trí đối nhau có giá trị như nhau \[\begin{align} \left| {{F_{{\text{dh}}}}} \right| & = \left| {{F_{{\text{hp}}}}} \right| = k\left| {{x_0}} \right| = m{\omega ^2}{x_0} \hfill \\ & = 1,{41.10^2}.3\sqrt 2 {.10^{ - 2}} \approx 6\,\,{\text{N}}. \hfill \\ \end{align} \]


20. Một lò xo khối lượng không đáng kể có chiều dài tự nhiên l₀, được treo vào một điểm cố định. Treo vào lò xo một vật khối lượng m₁ = 100 g thì độ dài của lò xo là l₁ = 31 cm. Treo thêm một vật khối lượng m₂ = 100 g vào lò xo thì độ dài của lò xo là l₂ = 32 cm. Lấy g = 10 m/s². Chiều dài l₀ là?
    - Treo m₁, khi cân bằng \[{m_1}g = k({l_1} - {l_0})\] - Treo THÊM m₂, khi cân bằng \[({m_1} + {m_2}) = k({l_2} - {l_0})\] - Lấy thương số các phương trình để khử $k$ ta được \[\begin{align} &\frac{{({m_1} + {m_2})g}}{{{m_1}g}} = \frac{{k({l_2} - {l_0})}}{{k({l_1} - {l_0})}} \hfill \\ &\Leftrightarrow \frac{{{m_1} + {m_2}}}{{{m_1}}} = \frac{{{l_2} - {l_0}}}{{{l_1} - {l_0}}} \hfill \\ &\Leftrightarrow \frac{{100 + 100}}{{100}} = \frac{{32 - {l_0}}}{{31 - {l_0}}} \hfill \\ &\Leftrightarrow {l_0} = 30\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


21. Con lắc lò xo dao động điều hòa thẳng đứng với biên độ 5 cm.Trong quá trình dao động, tỉ số về độ lớn của lực đàn hồi của lò xo giữa vị trí thấp nhất và vị trí cao nhất của vật bằng 3. Lấy g = 10 m/s². Chu kỳ dao động của con lắc là bao nhiêu?
    - Đề bài không đề cập tới lực đàn hồi cực đại hay cực tiểu mà là lực đàn hồi giữa 2 vị trí biên của con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Do đó, ta cần xét 2 trường hợp \[\begin{align} &\frac{{{F_{{\text{dh}}\max }}(x = A)}}{{{F_{{\text{dh}}\min }}(x = - A)}} = \frac{{k(\Delta l + A)}}{{k\left| {\Delta l - A} \right|}} = \frac{{\Delta l + A}}{{ \pm (\Delta l - A)}} = 3 \hfill \\ &\Rightarrow \left[ \begin{gathered} \Delta l = 2A = 2.5 = 10\,\,{\text{cm,}} \,\,\,\,\hfill \\ \Delta l = A/2 = 5/2 = 2,5\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{align} \]- Chu kì dao động \[\begin{align} T & = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt {\frac{{\Delta l}}{g}} \hfill \\ & = \left[ \begin{gathered} 2\pi \sqrt {\frac{{{{10.10}^{ - 2}}}}{{10}}} = 0,628\,\,{\text{s}}, \,\,\hfill \\ 2\pi \sqrt {\frac{{2,{{5.10}^{ - 2}}}}{{10}}} = 0,314\,\,{\text{s}}{\text{.}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{align}\]


22. Kích thích cho con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm. Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s² và π² = 10. Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là bao nhiêu?
    - Vì độ lớn lực đàn hồi cực tiểu và vị trí xảy ra phụ thuộc vào tương quan giữa biên độ và độ giãn lò xo tại VTCB nên ta cần tìm độ giãn lò xo tại VTCB rồi so sánh nó với biên độ dao động \[\begin{align} \Delta l & = \frac{g}{{{\omega ^2}}} = \frac{g}{{{{\left( {\frac{{2\pi }}{T}} \right)}^2}}} = \frac{{{\pi ^2}}}{{{{\left( {\frac{{2\pi }}{{0,4}}} \right)}^2}}} \hfill \\ & = 0,04\,\,{\text{m}} = 4\,\,{\text{cm}} = \frac{A}{2}. \hfill \\ \end{align}\] - Vì $A > \Delta l$ nên ${F_{{\text{dh}}\min }} = 0$ tại vị trí lò xo không biến dạng tức là $x = - \Delta l = - A/2$ (do chiều dương hướng xuống). Từ t = 0 để tới vị trí này, vật đã đi từ VTCB, theo chiều dương tới biên dưới x = +A, quay lại VTCB một lần nữa rồi tới x = -A/2. Thời gian di chuyển là \[\begin{align} &{t_{[O,A]}} + {t_{[A,O]}} + {t_{[O, - A/2]}} \hfill \\ = \,& \frac{T}{4} + \frac{T}{4} + \frac{T}{{12}} = \frac{{7T}}{{12}} \hfill \\ = \,& \frac{{7.0,4}}{{12}} = \frac{7}{{30}}\,\,{\text{s}}. \hfill \\ \end{align}\]