Bài tập mẫu về dao động cơ học không tự do: dao động tắt dần, dao động cưỡng bức và dao động tự duy trì

Bài tập khảo sát kiến thức về các loại dao động không tự do bao gồm: dao động tắt dần, cưỡng bức, tự duy trì. Kiến thức cần thiết cho các bài tập dạng này có thể tìm thấy trong các bài viết sau

• Phân biệt dao động tắt dần, dao động cưỡng bức và dao động tự duy trì
• Dao động tắt dần do lực cản không đổi - Nâng cao
• Sự tương tự giữa con lắc lò xo và con lắc đơn trong dao động điều hòa
Bạn thử tự giải trước khi xem đáp án nhé :)

1. Một con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m = 100 g, lò xo có độ cứng k = 100 N/m. Trong cùng một điều kiện về lực cản của môi trường, thì biểu thức ngoại lực điều hòa nào sau đây làm cho con lắc đơn dao động cưỡng bức với biên độ lớn nhất? (cho π² ≈ 10): F = F₀cos(2πt + π/4); F = F₀cos(8πt); F = F₀cos(10πt) hay F = F₀cos(20πt + π/2).
   Đáp án là dao động có tần số bằng tần số riêng của con lắc \[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{100}}{{0,1}}} = 10\sqrt {10} \approx 10\pi \,\,{\text{rad}}{\text{/}}{\text{s}}.\]


2. Một vật dao động với tần số riêng f₀ = 5 Hz, dùng một ngoại lực cưỡng bức có cường độ không đổi, khi tần số ngoại lực lần lượt là f₁ = 6 Hz và f₂ = 7 Hz thì biên độ dao động tương ứng là A₁ và A₂. So sánh A₁ và A₂: A. A₁ > A₂ vì f₁ gần f₀ hơn| B. A₁ = A₂ vì cùng cường độ ngoại lực| C. A₁ < A₂ vì f₁ < f₂| D. Không thể so sánh.
   Biên độ của một dao động cưỡng bức \[A \sim \frac{1}{{\left| {{\omega ^2} - \omega _0^2} \right|}}\] do đó ta chọn đáp án A.


3. Một con lắc đồng hồ được coi như lắc đơn có chu kì dao động 2 s, vật nặng có khối lượng 1 kg. Biên độ góc ban đầu là 5^o. Do chịu tác dụng của lực cản không đổi 0,011 N nên nó dao động tắt dần. Thời gian dao động là?
   - Lực hồi phục cực đại tác dụng lên con lắc \[{F_{{\text{hp}}\max }} = m{\omega ^2}{\alpha _0}l = mg{\alpha _0}\] - Thời gian dao động: các bạn cứ nhớ rằng “thời gian dao động tỉ lệ với ¼ chu kì với một hệ số bằng tỉ số giữa lực hồi phục cực đại và lực cản” \[t = \frac{{{F_{{\text{hp}}\max }}}}{{{F_{\text{c}}}}}\frac{T}{4} = \frac{{1.10.(5\pi /180)}}{{0,011}}\frac{2}{4} \approx 40\,\,{\text{s}}.\]


4. Một con lắc đơn gồm dây mảnh có gắn vật nặng nhỏ khối lượng m. Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc ${\alpha_0}$ = 0,1 rad rồi thả cho nó dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g. Trong quá trình dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn F_C không đổi và luôn ngược chiều chuyển động của con lắc. Tìm độ giảm biên độ góc $\Delta\alpha$ của con lắc sau mỗi chu kì dao động. Con lắc thực hiện số dao động N bằng bao nhiêu thì dừng? Cho biết F_C = mg.10^-3 N.
   - Độ giảm biên độ của con lắc sau mỗi chu kì \[\left| {\Delta S} \right| = \frac{{4{F_{\text{c}}}}}{{m{\omega ^2}}} = \frac{{4.({{10}^{ - 3}}mg)}}{{m(g/l)}} = {4.10^{ - 3}}l\] tương ứng với độ giảm về biên độ góc là \[\left| {\Delta {\alpha _0}} \right| = \frac{{\left| {\Delta S} \right|}}{l} = {4.10^{ - 3}}\,\,{\text{rad}}.\] - Số dao động thực hiện được cho tới khi tắt hẳn \[N = \frac{1}{4}\frac{{{F_{{\text{hp}}\max }}}}{{{F_{\text{C}}}}} = \frac{1}{4}\frac{{mg{\alpha _0}}}{{{{10}^{ - 3}}mg}} = \frac{{0,1}}{{{{4.10}^{ - 3}}}} = 25.\]


5. Gắn một vật có khối lượng m = 200 g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m. Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi vị trí cân bằng O đoạn 10 cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là μ = 0,1 (g = 10 m/s²). Tìm tốc độ lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình dao động?
   - Tần số riêng của dao động \[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{80}}{{0,2}}} = 20\,\,{\text{rad}}{\text{/}}{\text{s}}.\] - Tốc độ lớn nhất trong dao động \[\begin{align} &{F_{\text{c}}} = \mu mg, \hfill \\ &{v_{\max }} = \omega A - \frac{{{F_{\text{c}}}}}{{m{\omega ^2}}} \hfill \\ & = 20.0,1 - \frac{{0,1.0,2.10}}{{0,{{1.20}^2}}} = 1,995 \approx 2\,\,{\text{m}}{\text{/}}{\text{s}}. \hfill \\ \end{align}\]


6. Gắn một vật có khối lượng m = 200 g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m. Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi vị trí cân bằng O đoạn 10 cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là μ = 0,1 (g = 10 m/s²). Tìm độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì
   \[\begin{align} \left| {\Delta A} \right| & = \frac{{4{F_{\text{c}}}}}{{m{\omega ^2}}} = \frac{{4\mu mg}}{{m{\omega ^2}}} \hfill \\ & = \frac{{4.0,1.10}}{{{{20}^2}}} = 0,01\,\,{\text{m}} = 1\,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


7. Gắn một vật có khối lượng m = 200 g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m. Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi vị trí cân bằng O đoạn 10 cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là μ = 0,1 (g = 10 m/s²). Tìm số dao động vật thực hiện được đến lúc dừng lại.
   \[N = \frac{{{F_{{\text{hp}}\max }}}}{{4{F_{\text{c}}}}} = \frac{{m{\omega ^2}A}}{{4\mu mg}} = \frac{{{{20}^2}.0,1}}{{4.0,1.10}} = 10.\]


8. Một con lắc đơn vật treo khối lượng có là m, dây treo có chiều dài ℓ, biên độ góc ban đầu là ${\alpha_0}$ coi như rất nhỏ. Dao động tắt dần do tác dụng lực cản F_c không đổi, F_c luôn có chiều ngược chiều chuyển động của vật. Công thức tìm số lần vật đi qua vị trí cân bằng cho đến lúc dừng lại là?
   - Số dao động thực hiện được cho tới khi dừng lại \[N = \frac{{{F_{{\text{hp}}\max }}}}{{4{F_{\text{c}}}}} = \frac{{mg{\alpha _0}}}{{4{F_{\text{c}}}}}.\] - Mỗi dao động vật đi qua VTCB 4 lần nên đáp án là \[4N = \frac{{mg{\alpha _0}}}{{{F_{\text{c}}}}}.\]


9. Một con lắc lò xo ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100 N/m và vật m = 100 g, dao động trên mặt phẳng ngang, hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang là μ = 0,02. Kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng một đoạn 10 cm rồi thả nhẹ cho vật dao động. Quãng đường vật đi được từ khi bắt đầu dao động đến khi dừng hẳn là?
   \[\begin{align} {s_{{\text{end}}}} & = N.2{A_0} = \frac{{k{A_0}}}{{4\mu mg}}2{A_0} \hfill \\ & = \frac{{100.0,1}}{{0,02.0,1.10}}\frac{{0,1}}{2} = 25\,\,{\text{m}}. \hfill \\ \end{align}\]


10. Một vật dao động điều hòa tắt dần. Cứ sau mỗi chu kì biên độ dao động giảm 3%. Hỏi sau n chu kì cơ năng còn lại bao nhiêu %? (0,97)ⁿ; (0,97)²ⁿ; (0,97n) hay (0,97)²⁺ⁿ.
    - Theo đề, độ giảm tương đối của biên độ dao động ở chu kì thứ k so với biên độ của dao động ngay trước đó là \[\frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{{{A_k}}} = 3\%\] tức phần trăm biên độ còn lại là \[y: = \frac{{{A_{k + 1}}}}{{{A_k}}} = 1 - 3\% = 97\%.\] - Biên độ còn lại sau chu kì thứ n \[\begin{align} \frac{{{A_n}}}{{{A_0}}} & = \frac{{y{A_{n - 1}}}}{{{A_0}}} = \frac{{{y^2}{A_{n - 2}}}}{{{A_0}}} = ... \hfill \\ & = \frac{{{y^{n - 1}}{A_{n - (n - 1)}}}}{{{A_0}}} = \frac{{{y^n}{A_{n - n}}}}{{{A_0}}} = {y^n}. \hfill \\ \end{align}\] - Phần cơ năng còn lại sau n chu kì \[\frac{{{E_n}}}{{{E_0}}} = \frac{{0,5m{\omega ^2}A_n^2}}{{0,5m{\omega ^2}A_0^2}} = {\left( {\frac{{{A_n}}}{{{A_0}}}} \right)^2} = {y^{2n}} = {(97\% )^{2n}}.\]


11. Một con lắc dao động tắt dần chậm. Cứ sau mỗi chu kì biên độ giảm 6%. Trong một dao động toàn phần, cơ năng con lắc giảm 6%; 7,8%; 11,6% hay 9,8%?
    Độ giảm tương đối của cơ năng sau mỗi chu kì \[\begin{align} \frac{{\left| {\Delta E} \right|}}{E} & = \frac{{E - E'}}{E} = \frac{{0,5k{A^2} - 0,5k{{A'}^2}}}{{0,5k{A^2}}} \hfill \\ & = 1 - {\left( {\frac{{A'}}{A}} \right)^2} = 1 - {\left( {1 - \frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{A}} \right)^2} \hfill \\ & = 2\frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{A} - \frac{{{{\left| {\Delta A} \right|}^2}}}{{{A^2}}} = 2.6\% - 6{\% ^2} = 11,6\% . \hfill \\ \end{align}\] * Hint: nếu các đáp án khá xa nhau, hãy chọn đáp án gần gấp đôi nhất! Trong trường hợp này, 11,6% gần 2.6% = 12% nhất.


12. Chất điểm dao động tắt dần quanh vị trí cân bằng O. Cứ sau 1 chu kỳ năng lượng dao động của chất điểm giảm 10% so với chu kỳ trước đó. Hỏi sau 1 chu kỳ biên độ dao động giảm đi bao nhiêu % so với chu kỳ trước đó: 5,13%; 7,26%; 10% hay 3,16%?
    \[\begin{gathered} \frac{{\left| {\Delta E} \right|}}{E} = 2\frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{A} - \frac{{{{\left| {\Delta A} \right|}^2}}}{{{A^2}}} = 10\% \hfill \\ \Rightarrow \frac{{\left| {\Delta A} \right|}}{A} = 5,13\%. \hfill \\ \end{gathered} \] * Hint: nếu các đáp án khá xa nhau, hãy chọn đáp án gần bằng một nửa nhất! Trong trường hợp này, 5,13% gần 10%/2 = 5% nhất.


13. Một con lắc đồng hồ được coi như con lắc đơn có chu kì 2s, vật nặng 1kg, dao động tại nơi có g = π² = 10 m/s². Biên độ góc ban đầu là 5^o. Do ma sát với lực cản không đổi 0,011 N nên dao động tắt dần. Người ta dùng một pin 3 V điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lượng cho con lắc với hiệu suất quá trình bổ sung là 30%. Pin có điện lượng ban đầu 10⁴ C. Đồng hồ chạy được bao lâu phải thay pin?
    - Độ dài dây treo con lắc \[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \Rightarrow l = \frac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}} = \frac{{4.10}}{{4.10}} = 1\,\,{\text{m}}.\] - Nhờ cơ chế bổ sung năng lượng, dao động được duy trì với biên độ ổn định 5^o. Cơ năng thất thoát trong mỗi chu kì bằng độ lớn công của lực cản \[\begin{align} {A_{\text{c}}} & = 4{F_{\text{c}}}S = 4{F_{\text{c}}}{\alpha _0}l \hfill \\ & = 4.0,011.(5\pi /180).1 = 3,{87.10^{ - 3}}\,\,{\text{J}}. \hfill \\ \end{align}\] - Điện năng dự trữ trong pin \[E = QU = {3.10^4}\,\,{\text{J}}.\] - Cứ mỗi chu kì, pin bổ sung vào cơ năng con lắc một lượng A_c với hiệu suất 30%, số chu kì thực hiện được cho tới khi pin cạn năng lượng $N = \frac{{30\% E}}{{{A_{\text{c}}}}}$. Thời gian đồng hồ chạy được \[t = NT = \frac{{30\% E}}{{{A_{\text{c}}}}}T = 4651162,8\,\,{\text{s}} = 54\,\,\,\text{ngày}.\]


14. Gắn một vật có khối lượng m = 200 g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m. Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi vị trí cân bằng O đoạn 10 cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng ngang là μ = 0,1 (g = 10 m/s²). Vật dừng lại tại vị trí cách vị trí cân bằng O đoạn xa nhất Δℓ_max bằng bao nhiêu?
    Khi tới vị trí biên vật dừng lại tức thời. Ở chu kì cuối cùng vật dừng lại hẳn là nhờ lực ma sát NGHỈ cân bằng với lực đàn hồi. Nếu vật dừng lại cách VTCB đoạn Δl và coi như ma sát nghỉ cực đại bằng ma sát trượt thì \[\begin{align} &k\Delta l = {F_{{\text{msn}}}} \leqslant {\mu _t}mg \hfill \\ &\Rightarrow \Delta {l_{\max }} = \frac{{{\mu _t}mg}}{k} = \frac{{0,1.0,2.10}}{{80}} \hfill \\ &= 2,{5.10^{ - 3}}\,\,{\text{m}} = 2,5\,\,{\text{mm}}. \hfill \\ \end{align}\]


15. Một hệ cơ học có tần số dao động riêng là 10 Hz ban đầu dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực biến thiên điều hoà F₁ = F₀cos(ωt + φ) với ω = 20π rad/s. Nếu ta thay ngoại lực cưỡng bức F₁ bằng ngoại lực cưỡng bức F₂ = F₀cos(2ωt + 2φ), khi đó biên độ dao động cưỡng bức của hệ: Sẽ không đổi vì biên độ của lực không đổi| Sẽ tăng vì tần số biến thiên của lực tăng| Sẽ giảm vì mất cộng hưởng| Sẽ giảm vì pha ban đầu của ngoại lực tăng.
    - Tần số góc riêng của hệ cơ học là \[\omega = 2\pi f = 20\pi \,\,\,rad/s.\] - Với F₁, hệ dao động cộng hưởng nên có biên độ cực đại. Với F₂, hệ mất cộng hưởng nên biên độ dao động giảm xuống.


16. Một người xách một xô nước đi trên đường, mỗi bước đi dài 45 cm thì nước trong xô bị sóng sánh mạng nhất. Chu kì dao động riêng của nước trong xô là 0,3 s. Vận tốc của người đó là?
    - Mỗi bước đi của người gây một xung lực lên xô nước, chu kì của ngoại lực này bằng thời gian thực hiện mỗi sải chân \[T = \frac{{\Delta s}}{v}.\] - Xô nước dao động mạnh nhất khi chu kì riêng của nó trùng với chu kì ngoại lực \[\begin{align} &T = {T_0} \Leftrightarrow \frac{{\Delta s}}{v} = {T_0} \hfill \\ &\Rightarrow v = \frac{{{{45.10}^{ - 2}}}}{{0,3}} = 1,5\,\,{\text{m}}{\text{/}}{\text{s}} = 1,5\,.3,6\,\,{\text{km}}{\text{/}}{\text{h}} = 5,4\,\,{\text{km}}{\text{/}}{\text{h}}. \hfill \\ \end{align}\]


17. Một xe máy chạy thẳng đều trên con đường lát gạch, cứ cách 9 m trên đường lại có 1 rãnh nhỏ. Chu kì dao động riêng của khung xe trên các lò xo giảm xóc là 1,5 s. Xe bị xóc mạnh nhất khi có tốc độ?
    \[v = \frac{{\Delta s}}{{{T_0}}} = \frac{9}{{1,5}} = 6\,\,{\text{m}}{\text{/}}{\text{s}} = 6\,.3,6\,\,{\text{km}}{\text{/}}{\text{h}} = 21,6\,\,{\text{km}}{\text{/}}{\text{h}}.\]