Bài tập mẫu về ghép lò xo để thay đổi chu kì dao động của con lắc

Bài tập khảo sát kiến thức về ghép lò xo, ghép khối lượng, con lắc vướng đinh,… Kiến thức cần thiết cho các bài tập dạng này có thể tìm thấy trong các bài viết sau

• Sự tương tự điện – cơ và ứng dụng trong giải bài tập Vật lý
• Một số lưu ý về con lắc lò xo dao động thẳng đứng
• Sự tương tự giữa con lắc lò xo và con lắc đơn trong dao động điều hòa
Bạn thử tự giải trước khi xem đáp án nhé :)

1. Một vật có khối lượng m khi treo vào lò xo có độ cứng k₁, thì dao động với chu kỳ T₁ = 0,4 s. Nếu mắc vật m trên vào lò xo có độ cứng k₂ thì nó dao động với chu kỳ là T₂ = 0,3 s. Mắc hệ song song 2 lò xo thì chu kỳ dao động của hệ thoả mãn giá trị nào sau đây?
   \[\frac{1}{{T_{\text{h}}^2}} = \frac{1}{{T_1^2}} + \frac{1}{{T_2^2}} = \frac{1}{{0,{4^2}}} + \frac{1}{{0,{3^2}}} \Rightarrow {T_{\text{h}}} = 0,24\,\,{\text{s}}.\]


2. Một con lắc lò xo gồm vật nặng treo dưới một lò xo dài. Chu kỳ dao động của con lắc là T. Chu kỳ dao động của con lắc khi lò xo bị cắt bớt một nửa là T’. Tìm quan hệ giữa T và T’.
   Chu kì dao động ban đầu tương ứng với 2 lò xo như nhau mắc nối tiếp, mỗi lò xo ứng với chu kì riêng T’ \[{T^2} = {T'^2} + {T'^2} = 2{T'^2} \Rightarrow T' = T/\sqrt 2 .\]


3. Khi gắn quả nặng m₁ vào một lò xo, nó dao động với chu kì 1,2 s. Khi gắn quả nặng m₂ vào lò xo đó, nó dao động với chu kì 1,6 s. Khi gắn đồng thời m₁ và m₂ vào lò xo trên thì hệ dao động với chu kì?
   \[{T^2} = T_1^2 + T_2^2 = 1,{2^2} + 1,{6^2} \Rightarrow T = 2\,\,{\text{s}}.\]


4. Một vật có khối lượng m được treo vào một lò xo. Vật dao động điều hoà với tần số f₁ = 12 Hz. Khi treo thêm một gia trọng Δm = 10 g thì tần số dao động là f₂ = 10 Hz. Giá trị của m là?
   - Chu kì của hệ khi treo thêm gia trọng \[T_{m + \Delta m}^2 = T_m^2 + T_{\Delta m}^2\] trong đó \[\begin{align} & T_{\Delta m}^2 = 4{\pi ^2}\frac{k}{{\Delta m}}, \hfill \\ & T_m^2 = 4{\pi ^2}\frac{k}{m}, \hfill \\ \end{align} \] - Chia theo vế ta được \[\begin{align} &\frac{m}{{\Delta m}} = \frac{{T_{\Delta m}^2}}{{T_m^2}} = \frac{{T_{m + \Delta m}^2 - T_m^2}}{{T_m^2}} = \frac{{1/{{10}^2} - 1/{{12}^2}}}{{1/{{12}^2}}} = \frac{{11}}{{25}} \hfill \\ \Rightarrow\, & m = \frac{{11}}{{25}}.10 = 4,4\,\,{\text{g}}. \hfill \\ \end{align} \]


5. Tại cùng một nơi có gia tốc trọng trường là g, hai con lắc đơn có chiều dài lần lượt là ℓ₁ và ℓ₂, có chu kỳ dao động lần lượt là T₁ và T₂. Tìm biểu thức tính chu kỳ dao động của con lắc thứ ba có chiều dài bằng tích chiều dài của hai con lắc nói trên?
   \[\begin{align} {T_3} & = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_3}}}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_1}{l_2}}}{g}} \hfill \\ & = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_1}}}{g}} .2\pi \sqrt {\frac{{{l_2}}}{g}} .\frac{{\sqrt g }}{{2\pi }} \hfill \\ & = {T_1}{T_2}\frac{{\sqrt g }}{{2\pi }}. \hfill \\ \end{align} \]


6. Một lò xo đồng chất có độ cứng k được cắt ra n khúc thì độ cứng của mỗi khúc sẽ là?
   - Độ cứng tỉ lệ nghịch với chiều dài \[k(l) \sim \frac{1}{l}.\] - Gọi k’ là độ cứng của mỗi khúc thì \[\begin{align} & k':k = \frac{1}{{l'}}:\frac{1}{l} = \frac{1}{{l/n}}:\frac{1}{l} = n \hfill \\ \Rightarrow\,& k' = nk \hfill \\ \end{align}\] tức là độ cứng mỗi đoạn tăng lên n lần so với lò xo ban đầu.


7. Một lò xo có chiều dài ℓ₀ = 50 cm, độ cứng k₀ = 60 N/m được cắt thành hai lò xo có chiều dài lần lượt là ℓ₁ = 20 cm, ℓ₂ = 30 cm. Độ cứng k₁, k₂ của hai lò xo mới có giá trị nào sau đây?
   \[\begin{align} & {k_0}:{k_1}:{k_2} = \frac{1}{{{l_0}}}:\frac{1}{{{l_1}}}:\frac{1}{{{l_2}}} = \frac{1}{{50}}:\frac{1}{{20}}:\frac{1}{{30}} = \frac{1}{5}:\frac{1}{2}:\frac{1}{3} \hfill \\ & {k_1} = {k_0}\frac{{1/2}}{{1/5}} = 60.\frac{5}{2} = 150\,\,{\text{N}}{\text{/}}{\text{m}}. \hfill \\ & {k_2} = {k_0}\frac{{1/3}}{{1/5}} = 60.\frac{5}{3} = 100\,\,{\text{N}}{\text{/}}{\text{m}}. \hfill \\ \end{align}\]


8. Một lò xo chiều dài tự nhiên ℓ₀ = 45 cm độ cứng k₀ = 12 N/m được cắt thành 2 lò xo có chiều dài lần lượt là 18 cm và 27 cm, sau đó ghép chúng song song với nhau một đầu cố định còn đầu kia gắn vật m = 100 g thì chu kỳ dao động của hệ là?
   \[{k_0}:{k_1}:{k_2} = \frac{1}{{{l_0}}}:\frac{1}{{{l_1}}}:\frac{1}{{{l_2}}} = \frac{1}{{45}}:\frac{1}{{18}}:\frac{1}{{27}}.\] - Chu kì của hệ 2 lò xo song song \[\begin{align} &{T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{{k_1}}}} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{45{k_0}/18}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,1}}{{45.12/18}}} = 0,36\,\,{\text{s}}. \hfill \\ &{T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{{k_2}}}} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{{45{k_0}/27}}} = 2\pi \sqrt {\frac{{0,1}}{{45.12/27}}} = 0,44\,\,{\text{s}}{\text{.}} \hfill \\ &\frac{1}{{T_{\text{h}}^2}} = \frac{1}{{T_1^2}} + \frac{1}{{T_2^2}} = \frac{1}{{0,{{36}^2}}} + \frac{1}{{0,{{44}^2}}} \Rightarrow {T_{\text{h}}} = 0,28\,\,{\text{s}}. \hfill \\ \end{align} \]


9. Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là ℓ dao động điều hoà với chu kì T. Nếu cắt bớt chiều dài dây treo một đoạn ℓ₁ = 0,75 m thì chu kì dao động bây giờ là T₁ = 3 s. Nếu cắt tiếp dây treo đi một đoạn nữa ℓ₂ = 1,25 m thì chu kì dao động bây giờ là T₂ = 2 s. Tìm chiều dài ℓ của con lắc ban đầu, chu kì T của nó và gia tốc trọng trường nơi dao động.
   \[\begin{align} &T_1^2 = 4{\pi ^2}\frac{{l - {l_1}}}{g} \Rightarrow l - \frac{{T_1^2}}{{4{\pi ^2}}}g = {l_1} \hfill \\ &T_2^2 = 4{\pi ^2}\frac{{l - {l_1} - {l_2}}}{g} \Rightarrow l - \frac{{T_2^2}}{{4{\pi ^2}}}g = {l_1} + {l_2} \hfill \\ &\Rightarrow l = 3\,\,{\text{m}};g = 9,87\,\,{\text{m}}{\text{/}}{{\text{s}}^{\text{2}}}. \hfill \\ \end{align} \] Chu kì \[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{3}{{9,87}}} = 3,46\,\,{\text{s}}.\]


10. Một con lắc đơn, quả nặng có khối lượng 40g dao động nhỏ với chu kì 2s. Nếu gắn thêm một gia trọng có khối lượng 120g thì con lắc sẽ dao động nhỏ với chu kì?
    Chu kì con lắc đơn không phụ thuộc khối lượng, chu kì lúc sau vẫn là 2 s.


11. Một lò xo độ cứng k = 200 N/m treo vào 1 điểm cố định, đầu dưới có vật m = 200 g. Vật dao động điều hòa và có vận tốc tại vị trí cân bằng là 62,8 cm/s. Lấy g = 10 m/s². Lấy 1 lò xo giống hệt như lò xo trên và ghép nối tiếp hai lò xo rồi treo vật m, thì thấy nó dao động với cơ năng vẫn bằng cơ năng của nó khi có 1 lò xo. Biên độ dao động của con lắc lò xo ghép là?
    - Tần số dao động khi chỉ có một lò xo \[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{200}}{{0,2}}} = 10\sqrt {10}\] - Biên độ dao động lúc đâu \[{v_{\max }} = \omega A \Rightarrow A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = \frac{{62,8}}{{10\sqrt {10} }} \approx 2\,\,{\text{cm}}.\] - Chu kì dao động của hệ 2 lò xo nối tiếp lúc sau \[\begin{align} &T_{\text{h}}^2 = {T^2} + {T^2} = 2{T^2} \hfill \\ &\Rightarrow {T_{\text{h}}} = T\sqrt 2 \hfill \\ &\Rightarrow {\omega _{\text{h}}} = \frac{\omega }{{\sqrt 2 }}. \hfill \\ \end{align}\] - Cơ năng của hệ trước và sau khi ghép không đổi \[\begin{align} &\frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = \frac{1}{2}m\omega _{\text{h}}^2A_{\text{h}}^2 \hfill \\ &\Rightarrow {A_{\text{h}}} = \frac{{\omega A}}{{{\omega _h}}} = A\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \,\,{\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\]


12. Một vật khối lượng m = 2 kg khi mắc vào hai lò xo độ cứng k₁ và k₂ ghép song song thì dao động với chu kỳ T = 2π/3 s. Nếu đem nó mắc vào 2 lò xo nói trên ghép nối tiếp thì chu kỳ lúc này là $T' = 3T/\sqrt 2$. Độ cứng k₁ và k₂ có giá trị?
    - Ghép nối tiếp \[{T'}_{\text{h}}^2 = T_1^2 + T_2^2 = {\left( {\frac{3}{{\sqrt 2 }}.\frac{{2\pi }}{3}} \right)^2} = 2{\pi ^2}\,\,\,(1)\] - Ghép song song \[\begin{align} \frac{1}{{T_{\text{h}}^2}} = \frac{1}{{T_1^2}} + \frac{1}{{T_2^2}} &= \frac{1}{{{{(2\pi /3)}^2}}} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{T_1^2 + T_2^2}}{{T_1^2T_2^2}} &= \frac{1}{{{{(2\pi /3)}^2}}} \,\,\,(2) \hfill \\ \end{align} \] - Lấy (1) thay vào (2) \[T_1^2T_2^2 = 2{\pi ^2}{(2\pi /3)^2} = 8{\pi ^4}/9\] - Vì $T_1^2$ và $T_2^2$ có tổng $S = 2{\pi ^2}$ và tích $P = 8{\pi ^4}/9$ nên chúng là nghiệm của phương trình bậc 2 sau \[{x^2} - Sx + P = 0.\] Phương trình này cho ta kết quả \[\begin{align} & T_1^2 = 13,16;\,\,6,58 \hfill \\ \Rightarrow \, & {k_1} = \frac{{4{\pi ^2}m}}{{T_1^2}} = 6;\,\,12\,\,{\text{N}}{\text{/}}{\text{m}}. \hfill \\ \end{align}\] * Hint: Từ phương trình (1) và (2) ta thấy vai trò của T₁ và T₂ là như nhau tức là có thể hoán đổi vị trí chúng trong mỗi phương trình mà không làm thay đổi kết quả. Do đó, bài này phải có 2 đáp án cho mỗi chu kì.


13. Hai lò xo giống hệt nhau, chiều dài tự nhiên ℓ₀ = 20 cm, độ cứng k = 200 N/m ghép nối tiếp rồi treo thẳng đứng vào một điểm cố định. Khi treo vào đầu dưới một vật m = 200 g rồi kích thích cho vật dao động với biên độ 2 cm. Lấy g = 10 m/s². Chiều dài tối đa ℓmax và tối thiểu ℓ_min của lò xo trong quá trình dao động là?
    - Ghép nối tiếp được một lò xo mới dài tự nhiên l’ = 2l₀ = 40 cm. Độ cứng lò xo này là k’ thỏa mãn \[k':k = \frac{1}{{l'}}:\frac{1}{{{l_0}}} = \frac{1}{{40}}:\frac{1}{{20}} = 1:2\] - Độ giãn lò xo ở VTCB \[\Delta l = \frac{{mg}}{{k'}} = \frac{{mg}}{{k/2}} = \frac{{0,2.10}}{{200/2}} = 0,02\,\,{\text{m}} = 2\,\,{\text{cm}}.\] - Chiều dài lò xo dao động trong khoảng \[l = l' + \Delta l \pm A = 40 + 2 \pm 2 \in [40,\,\,44]\,\,cm.\]


14. Một lò xo có độ cứng k, nếu lần lượt treo vào nó các khối lượng m₁, m₂ thì nó dao động với các tần số là f₁ và f₂. Vậy, khi treo cả hai khối lượng m₁ và m₂ thì nó dao động với tần số?
    \[\begin{align} &T_{\text{h}}^2 = T_1^2 + T_2^2 \hfill \\ \Rightarrow\,& \frac{1}{{f_{\text{h}}^2}} = \frac{1}{{f_1^2}} + \frac{1}{{f_2^2}} \hfill \\ \Rightarrow\,& {f_{\text{h}}} = \frac{{{f_1}{f_2}}}{{\sqrt {f_1^2 + f_2^2} }}. \hfill \\ \end{align}\]


15. Ở cùng 1 vị trí, con lắc đơn dài ℓ₁ dao động với chu kì 3 s, con lắc đơn dài ℓ₂ dao động với chu kì $2\sqrt 2$ s. Con lắc đơn dài (ℓ₁ + 2ℓ₂) sẽ dao động với chu kì?
    Ta để ý vai trò của l trong con lắc đơn (khi giữ g không đổi) giống như m trong con lắc lò xo (khi giữ k không đổi) nên \[\begin{align} T_{\text{h}}^2 & = T_1^2 + T_2^2 + T_2^2 \hfill \\ & = {3^2} + 2.{(2\sqrt 2 )^2} = 25 \hfill \\ & \Rightarrow {T_{\text{h}}} = 5\,\,{\text{s}}. \hfill \\ \end{align}\]


16. Chọn kết luận đúng. Một con lắc đơn đang dao động điều hòa. Khi vật nặng đi qua vị trí cân bằng người ta giữ cố định điểm chính giữa của dây treo. Sau đó: con lắc có thể không còn dao động điều hòa nữa| tần số dao động của con lắc tăng lên hai lần| gia tốc của vật nặng tăng lên đột ngột lúc giữ dây| cơ năng của con lắc vẫn không đổi.
    - Vì $\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} $, khi giữ điểm giữa dây treo, l sẽ giảm đi 2 lần => tần số dao động tăng √2 lần.
    - Ngay lúc giữ dây, gia tốc dài không đổi, gia tốc góc giảm đi 2 lần.
    - Con lắc chỉ chịu tác dụng của trọng lực là lực thế => cơ năng con lắc không đổi.
    - Con lắc vẫn dao động điều hòa sau đó nếu vẫn giữa điểm giữa dây treo.