Bài tập mẫu về năng lượng trong dao động điều hòa

Bài tập dưới đây khảo sát kiến thức về năng lượng của dao động: sự biến thiên của động năng và thế năng theo thời gian, li độ và vận tốc; biểu thức tính các dạng năng lượng,… Kiến thức cần thiết cho các bài tập dạng này có thể tìm thấy trong các bài viết sau

• Sự tương tự giữa con lắc lò xo và con lắc đơn trong dao động điều hòa
• Sự tương tự điện – cơ và ứng dụng trong giải bài tập Vật lý
Bạn thử tự giải trước khi xem đáp án nhé :)

1. Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng 100 g và lò xo độ cứng 25 N/m. Động năng của vật biến thiên tuần hoàn với tần số?
   - Tần số dao động của vật nặng \[f = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{k}{m}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{25}}{{0,1}}} \approx 2,5{\text{ rad}}{\text{/}}{\text{s}}.\] - Động năng của vật biến thiên tuần hoàn với tần số gấp đôi tần số biến thiên của vật nặng \[f' = 2f = 2.2,5 = 5{\text{ rad}}{\text{/}}{\text{s}}.\]


2. Một con lắc lò xo có cơ năng W = 0,9 J và biên độ dao động A = 15 cm. Động năng của con lắc tại li độ x = -5 cm là bao nhiêu?
   - Độ cứng của lò xo \[\begin{align} & W = \frac{1}{2}k{A^2} \hfill \\ & \Rightarrow k = \frac{{2W}}{{{A^2}}} = \frac{{2.0,9}}{{0,{{15}^2}}} = 80{\text{ N/m}}{\text{.}} \hfill \\ \end{align}\] - Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có \[\begin{align} & W = {W_{\text{d}}} + {W_{\text{t}}} \hfill \\ & \Rightarrow {W_{\text{d}}} = W - {W_{\text{t}}} = \frac{1}{2}k{A^2} - \frac{1}{2}k{x^2} = \frac{1}{2}k\left( {{A^2} - {x^2}} \right) \hfill \\ & \Leftrightarrow {W_{\text{d}}} = \frac{1}{2}.80.\left[ {0,{{15}^2} - {{\left( { - 0,05} \right)}^2}} \right] = 0,8{\text{J}}. \hfill \\ \end{align} \]


3. Một vật nhỏ khối lượng m = 200 g được treo vào một lò xo khối lượng không đáng kể, độ cứng k = 80 N/m. Kích thích để con lắc dao động điều hòa (bỏ qua các lực ma sát) với cơ năng bằng 6,4.10^-2 J. Gia tốc cực đại và vận tốc cực đại của vật lần lượt là?
   - Biên độ dao động của vật\[W = \frac{1}{2}k{A^2} \Rightarrow A = \sqrt {\frac{{2W}}{k}} = \sqrt {{{\frac{{2.6,4.10}}{{80}}}^{ - 2}}} = 0,04{\text{ m}}{\text{.}}\] - Gia tốc cực đại của vật\[{a_{{\text{max}}}} = {\omega ^2}A = \frac{k}{m}A = \frac{{0,2}}{{80}}.0,04 = 16{\text{ m}}{\text{/}}{{\text{s}}^{\text{2}}}\] - Tốc độ cực đại của vật\[{v_{{\text{max}}}} = \omega A = \sqrt {\frac{k}{m}} .A = \sqrt {\frac{{80}}{{0,2}}} .0,04 = 0,8{\text{ m}}{\text{/}}{\text{s}} = 80\,\,{\text{cm}}{\text{/}}{\text{s}}.\]


4. Hai con lắc đơn cùng khối lượng dao động điều hòa tại cùng một nơi với cùng biên độ góc và chu kì lần lượt là T₁ = 3T₂. Tỉ số cơ năng toàn phần 2 con lắc bằng?
   \[\begin{align} & {\alpha _{01}} = {\alpha _{02}} = {\alpha _0}, \hfill \\ & {T^2} = 4{\pi ^2}\frac{l}{g} \Rightarrow l = \frac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}}, \hfill \\ & \frac{{{W_1}}}{{{W_2}}} = \frac{{0,5mg{l_1}\alpha _{01}^2}}{{0,5mg{l_2}\alpha _{02}^2}} = \frac{{0,5mgT_1^2\alpha _0^2}}{{0,5mgT_2^2\alpha _0^2}} = \frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = 9. \hfill \\ \end{align} \]


5. Một vật dao động điều hòa với biên độ 6 cm. Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi vật có động năng bằng 3/4 lần cơ năng thì vật cách vị trí cân bằng một đoạn?
   Theo định luật bảo toàn cơ năng\[\begin{align} & W = {W_{\text{d}}} + {W_{\text{t}}} \hfill \\ & {W_{\text{d}}} = \frac{3}{4}W \to {W_{\text{d}}} = 3{W_{\text{t}}} \hfill \\ & \Rightarrow W = 3{W_{\text{t}}} + {W_{\text{t}}} = 4{W_{\text{t}}} \hfill \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{2}k{A^2} = 4.\frac{1}{2}k{x^2} \Rightarrow \left| x \right| = \frac{A}{2} = \frac{6}{2} = 3{\text{ cm}}. \hfill \\ \end{align} \]


6. Hai con lắc có cùng vật nặng, chiều dài dây treo lần lượt là ℓ₁ = 81 cm, ℓ₂ = 64 cm dao động với biên độ góc nhỏ tại cùng 1 nơi với cùng năng lượng dao động, biên độ dao động con lắc thứ nhất là α₀₁ = 5^o, biên độ góc của con lắc thứ hai là?
   Hai con lắc có cùng năng lượng\[\begin{align} & {W_1} = {W_2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}mg{l_1}\alpha _{01}^2 = \frac{1}{2}mg{l_2}\alpha _{02}^2 \hfill \\ & \Rightarrow {\alpha _{02}} = \sqrt {\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}} .{\text{ }}{\alpha _{01}} = \sqrt {\frac{{81}}{{64}}} .{\text{ }}{5^{\text{o}}} = 6,{328^{\text{o}}}. \hfill \\ \end{align} \]


7. Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 12cos(ωt + π/4) + 10 (cm,s). Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Hỏi khi vật có tọa độ x = 6 cm thì tỉ lệ giữa động năng chuyển động và thế năng phục hồi bằng bao nhiêu?
   \[\begin{align} & \,\,x = 12\cos \left( {\omega t + \pi /4} \right) + 10, \hfill \\ & \Leftrightarrow x - 10 = 12\cos \left( {\omega t + \pi /4} \right) \hfill \\ & \Leftrightarrow {\text{ }}X = 12\cos \left( {\omega t + \pi /4} \right). \hfill \\ \end{align} \]Khi x = 6 cm thì X = -4 cm, vận tốc của vật là\[\begin{align} & {v^2} = {\omega ^2}\left( {{A^2} - {X^2}} \right) = {\omega ^2}\left[ {{{12}^2} - {{\left( { - {\text{ }}4} \right)}^2}} \right] = 128{\omega ^2} \hfill \\ & \Rightarrow \frac{{{W_{\text{d}}}}}{{{W_{{\text{t}}}}}} = \frac{{\frac{1}{2}m{v^2}}}{{\frac{1}{2}k{X^2}}} = \frac{{m.128{\omega ^2}}}{{k{{( - 4)}^2}}} = 8. \hfill \\ \end{align} \]


8. Con lắc lò xo treo thẳng đứng có m = 250 g, k = 100 N/m. Kéo vật xuống dưới đến vị trí lò xo dãn 7,5 cm rồi thả nhẹ thì vật dao động điều hoà. Cho g = 10 m/s². Tại vị trí lò xo không biến dạng thì vận tốc của vật có độ lớn là?
   - Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng\[\Delta {l_0}{\text{ = }}\frac{{mg}}{k}{\text{ = }}\frac{{0,25.10}}{{100}}{\text{ = 0,25 m = 25 cm}}{\text{. }}\]- Tại vị trí lò xo không biến dạng, li độ của vật là x = 25 cm. Áp dụng hệ thức độc lập với thời gian, ta có\[\begin{align} & {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} \Rightarrow {v^2} = {\omega ^2}\left( {{A^2} - {x^2}} \right) = \frac{k}{m}\left( {{A^2} - {x^2}} \right), \hfill \\ & \Leftrightarrow v = \sqrt {\frac{k}{m}\left( {{A^2} - {x^2}} \right)} = \sqrt {\frac{{100}}{{0,25}}\left( {{5^2} - 2,{5^2}} \right)} = 86,6{\text{ cm}}{\text{/}}{\text{s}}. \hfill \\ \end{align} \]


9. Một con lắc lò xo dao động theo phương trình x = Acos(2πt/3) (cm; s). Tại thời điểm t₁ và thời điểm t₂ = t₁ + Δt, vật có động năng bằng ba lần thế năng. Giá trị nhỏ nhất của Δt là?
   - Chu kỳ của con lắc\[T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{2\pi /3}} = 3{\text{ s}}.\]- Ta có\[{W_{\text{d}}} = 3{W_{\text{t}}} \Rightarrow x = \pm \frac{A}{2}.\]- Với Δt là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ $x = \frac{A}{2}$ đến vị trí có li độ $x = - \frac{A}{2}$ (hoặc ngược lại)\[\Delta t = \frac{T}{6} = \frac{3}{6} = 0,5{\text{ s}}.\]


10. Một con lắc lò xo tham gia đồng thời 2 dao động cùng phương, cùng tần số $\omega = 5\sqrt 2 \,\,\,{\text{rad/s}}$, có độ lệch pha bằng π/2. Biên độ của dao động thành phần là A₁ = 4 cm và A₂. Biết độ lớn vận tốc của vật tại thời điểm động năng bằng thế năng là 40 cm/s. Biên độ thành phần A₂ bằng?
    - Ta có \[{W_{\text{d}}} = {W_{\text{t}}} \Rightarrow x = \pm \frac{A}{{\sqrt 2 }}\]- Áp dụng hệ thức độc lập với thời gian\[\begin{align} & {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} \Leftrightarrow \frac{{{A^2}}}{2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}, \hfill \\ & \Rightarrow {A^2} = 2.\frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} \Rightarrow A = \frac{{v\sqrt 2 }}{\omega } = \frac{{40\sqrt 2 }}{{5\sqrt 2 }} = 8{\text{ cm}}. \hfill \\ \end{align} \]- Do hai dao động thành phần vuông pha\[\begin{align} & {A^2} = A_1^2 + A_2^2 \hfill \\ & \Rightarrow {A_2} = \sqrt {{A^2} - A_1^2} = \sqrt {{8^2} - {4^2}} = 4\sqrt 3 {\text{ cm}}. \hfill \\ \end{align} \]


11. Một vật dao động điều hoà với tần số f = 5 Hz. Tại thời điểm t₁ vật có động năng bằng 3 lần thế năng. Tại thời điểm t₂ = (t₁ + 1/30) s động năng của vật bằng?
    - Chu kỳ dao động của vật \[T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5} = 0,2{\text{ s}}.\]
    - Tại thời điểm t₁ \[{W_{\text{d}}} = 3{W_{\text{t}}} \Rightarrow {x_1} = \pm \frac{A}{2}.\]
    - Thời điểm t₂ = (t₁ + 1/30) ta có \[\Delta t = \frac{1}{{30}} = \frac{T}{6}\]
    + TH vật đang chuyển động cùng chiều dương ${x_1} = \frac{A}{2} \to {x_2} = A$ vật có động năng bằng cơ năng; ${x_1} = - \frac{A}{2} \to {x_2} = \frac{A}{2}$ vật có động năng bằng 3 lần thế năng.
    + TH vật đang chuyển động ngược chiều dương ${x_1} = \frac{A}{2} \to {x_2} = - \frac{A}{2}$ vật có động năng bằng 3 lần thế năng; ${x_1} = - \frac{A}{2} \to {x_2} = - A$ vật có động năng bằng cơ năng.


12. Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Cơ năng của con lắc thay đổi thế nào nếu khối lượng của vật nặng tăng gấp đôi nhưng độ cứng của lò xo và biên độ dao động không thay đổi?
    Cơ năng của con lắc lò xo \[W = \frac{1}{2}k{A^2} = m{\omega ^2}{A^2}.\]
    Khối lượng tăng gấp đôi → cơ năng của con lắc tăng gấp đôi.


13. Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ cung s₀. Tốc độ vật nặng khi qua vị trí cân bằng là v₀. Tăng chiều dài dây lên 2 lần rồi kích thích cho con lắc dao động điều hòa với biên độ cung như cũ. Tốc độ của vật nặng khi qua vị trí cân bằng lúc này là?
    Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có\[\begin{align} & W = {W_{\text{d}}} + {W_{\text{t}}} = 2{W_{\text{d}}} \hfill \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 = 2.\frac{1}{2}m{v^2} \hfill \\ & \Rightarrow v = \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}\sqrt {g\ell } . \hfill \\ \end{align} \]


14. Hai con lắc đơn cùng khối lượng vật nặng. Chiều dài dây treo con lắc thứ 1 gấp 9 lần con lắc thứ 2. Hai con lắc dao động điều hòa với chiều dài quĩ đạo như nhau. Tại thời điểm ban đầu, 2 vật ở vị trí cao nhất. Vào thời điểm mà con lắc thứ 1 qua vị trí cân bằng lần đầu thì tỉ số động năng của 2 con lắc là?
    - Chu kỳ dao động của con lắc 1 và 2 lần lượt là\[\begin{align} & {T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_1}}}{g}} \hfill \\ & {T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{{{l_2}}}{g}} \hfill \\ & \Rightarrow \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = 3 \Rightarrow {T_1} = 3{T_2} \Leftrightarrow {\omega _2} = 3{\omega _1} \hfill \\ \end{align} \] - Thời điểm con lắc 1 đi qua vị trí cân bằng $\frac{{{T_1}}}{4} = \frac{{3{T_2}}}{4} \to $ con lắc 2 cũng đi qua vị trí cân bằng\[\begin{align} & {W_1} = \frac{1}{2}m\omega _{_1}^2{A^2} \hfill \\ & {W_2} = \frac{1}{2}m\omega _{_2}^2{A^2} \hfill \\ \end{align} \] - Tỉ số động năng của hai con lắc là\[\frac{{{W_1}}}{{{W_2}}} = \frac{{\omega _{_1}^2}}{{9\omega _{_1}^2}} = \frac{1}{9}.\]


15. Con lắc đơn có chiều dài ℓ dao động với biên độ α₀ tại nơi có gia tốc trọng trường g. Khi con lắc đơn qua vị trí động năng bằng thế năng thì tốc độ nó là?
    Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có\[\begin{align} & W = {W_{\text{d}}} + {W_{\text{t}}} = 2{W_{\text{d}}} \hfill \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 = 2.\frac{1}{2}m{v^2} \hfill \\ & \Rightarrow \left| v \right| = \frac{{\alpha _0}}{\sqrt 2 }\sqrt {gl} . \hfill \\ \end{align} \]


16. Ở một thời điểm, vận tốc của vật dao động điều hòa bằng 20% vận tốc cực đại, tỉ số giữa động năng và thế năng của vật là?
    Tỉ số giữa động năng và thế năng\[\begin{align} \frac{{{W_d}}}{{{W_t}}} = \frac{{{W_d}}}{{W - {W_d}}} & = \frac{{\frac{1}{2}m{v^2}}}{{\frac{1}{2}mv_{\max }^2 - \frac{1}{2}m{v^2}}} = \frac{{{v^2}}}{{v_{\max }^2 - {v^2}}} \hfill \\ &= \frac{{{{\left( {20\% v} \right)}^2}}}{{v_{\max }^2 - {{\left( {20\% v} \right)}^2}}} = \frac{1}{{24}}. \hfill \\ \end{align} \]


17. Một vật được gắn vào một lò xo độ cứng 20 N/m. Vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Khi cách vị trí cân bằng 6 cm, động năng của vật là?
    Động năng của vật\[\begin{align} {{\text{W}}_{\text{d}}} = {\text{W}} - {{\text{W}}_{\text{t}}} &= \frac{1}{2}k\left( {{A^2} - {x^2}} \right) \hfill \\ & = \frac{1}{2}.20\left( {0,{1^2} - 0,{{06}^2}} \right) = 0,064{\text{ J}}{\text{.}} \hfill \\ \end{align} \]


18. Một vật nhỏ có khối lượng m = 100 g thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số f = 20/π Hz. Biết biên độ của các dao động thành phần: A₁ = 6 cm, A₂ = 8 cm, độ lệch pha của hai dao động đó là π/2. Động năng cực đại của vật trong quá trình chuyển động là?
    - Do hai dao động thành phần vuông pha nên ta có\[\begin{align} & {A^2} = A_1^2 + A_2^2 \hfill \\ \Rightarrow & A = \sqrt {{A_1}^2 + A_2^2} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10{\text{ cm}}{\text{.}} \hfill \\ \end{align} \] - Động năng cực đại của con lắc\[\begin{align} {W_{\text{d}}}_{\max } = W & = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{A^2} = 2{\pi ^2}{f^2}m{A^2} \hfill \\ & = 2{\pi ^2}.\frac{{{{20}^2}}}{{{\pi ^2}}}.0,1.0,{1^2} = 0,8{\text{ J}}. \hfill \\ \end{align} \]


19. Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α₀ nhỏ. Lấy mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Khi con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương đến vị trí có động năng bằng thế năng thì li độ góc α của con lắc bằng?
    Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có\[\begin{align} &\,\,W = {W_{\text{d}}} + {W_{\text{t}}} = 2{W_{\text{d}}} \hfill \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{2}mgl\alpha _0^2 = 2.\frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} \hfill \\ &\Rightarrow \left| \alpha \right| = \frac{{{\alpha _o}}}{{\sqrt 2 }}. \hfill \\ \end{align} \]Vật chuyển động theo chiều dương $\alpha = \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}.$


20. Một chất điểm có khối lượng M dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng với biên độ A. Gọi v_max, a_max, W_dmax lần lượt là vận tốc cực đại, gia tốc cực đại và động năng cực đại của chất điểm. Tại thời điểm t, chất điểm có li độ x và vận tốc v. Công thức nào sau đây không đúng khi dùng để tính chu kì của chất điểm? $T = 2\pi A\sqrt {\frac{m}{{{W_{{\text{d}}\max }}}}} $| $T = 2\pi \frac{A}{{{v_{\max }}}}$| $T = \frac{{2\pi }}{{\left| v \right|}}\sqrt {{A^2} - {x^2}} $| $T = 2\pi \sqrt {\frac{A}{{{a_{\max }}}}}$.
    Đáp án A tương đương với một kết luận sai \[\begin{align} T & = 2\pi A\sqrt {\frac{m}{{{W_{d\max }}}}} = 2\pi A\sqrt {\frac{m}{{\frac{1}{2}k{A^2}}}} \hfill \\ & = 2\pi \sqrt {\frac{{2m}}{k}} \,{\text{(Wrong)}}{\text{.}} \hfill \\ \end{align}\]


21. Cho một vật dao động điều hoà với biên độ A = 5 cm. Cho biết khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi quãng đường 25 cm là 7/3 s. Lấy π² = 10. Độ lớn gia tốc của vật khi đi qua vị trí có động năng gấp 3 lần thế năng là?
    \[\begin{align} & \,\,S = 25 = 5A \Rightarrow {t_{\min }} = T + \frac{T}{6} = \frac{{7T}}{6} \hfill \\ & \Leftrightarrow \frac{{7T}}{6} = \frac{7}{3} \Rightarrow T = 2{\text{ s}} \hfill \\ & \Rightarrow \omega {\text{ = }}\frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi {\text{ rad/s}}{\text{.}} \hfill \\ \end{align} \]Ta có ${W_{\text{d}}} = 3{W_{\text{t}}} \Rightarrow \left| x \right| = \frac{A}{2}.$ Độ lớn gia tốc của vật\[\begin{align} & \left| a \right| = {\omega ^2}\left| x \right| = {\pi ^2}.\frac{A}{2} \hfill \\ & = {\pi ^2}.\frac{5}{2} = 25{\text{ cm/}}{{\text{s}}^2}{\text{ = 0,25 m/}}{{\text{s}}^2}. \hfill \\ \end{align} \]


22. Một con lắc lò xo trong đó lò xo có độ cứng k₁ = 20 N/m, vật nặng có khối lượng m = 200 g dao động điều hoà với tốc độ cực đại bằng 40 cm/s. Lấy thêm một lò xo có độ cứng k₂ ghép nối tiếp với lò xo trên sau đó treo vật nặng rồi kích thích cho vật dao động điều hoà với biên độ $4\sqrt 3 \,{\text{cm}}{\text{.}}$ Cho biết năng lượng dao động trong hai trường hợp trên là bằng nhau, các lò xo đều rất nhẹ. Độ cứng k₂ của lò xo ghép thêm là?
    - Tần số góc và biên độ của con lắc thứ nhất \[\begin{align} & {\omega _1} = \sqrt {\frac{{{k_1}}}{{{m_1}}}} = \sqrt {\frac{{20}}{{0,2}}} = 10{\text{ rad}}{\text{/}}{\text{s}}. \hfill \\ & {A_1} = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = \frac{{40}}{{10}} = 4{\text{ cm}}. \hfill \\ \end{align} \] - Năng lượng của hai con lắc bằng nhau\[\begin{align} & \,\,{W_1} = {W_2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}{k_1}A_1^2 = \frac{1}{2}{k_{{\text{nt}}}}{A^2} \hfill \\ & \Leftrightarrow {k_{{\text{nt}}}} = \frac{{A_1^2}}{{{A^2}}}{k_1} = \frac{{{4^2}}}{{{{(4\sqrt 3 )}^2}}}.20 = \frac{{20}}{3} \hfill \\ \end{align} \]- Lưu ý: Độ cứng của lò xo gồm hai lò xo mắc nối tiếp\[\begin{align} & \frac{1}{{{k_{{\text{nt}}}}}} = \frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}} \hfill \\ & \Rightarrow \frac{1}{{{k_2}}} = \frac{1}{{{k_{{\text{nt}}}}}} - \frac{1}{{{k_1}}} \hfill \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{{{k_2}}} = \frac{2}{{20}} - \frac{1}{{20}} = \frac{1}{{20}} \hfill \\ & \Rightarrow {k_2} = 20{\text{ N}}{\text{/}}{\text{m}}. \hfill \\ \end{align} \]