Bài tập mẫu về thời gian và quãng đường cực trị trong dao động điều hòa

Bài tập khảo sát kiến thức về cách tính đường đi trong dao động, thời điểm đạt trạng thái xác định, các thời gian và quãng đường cực trị, vận tốc trung bình. Kiến thức cần thiết cho các bài tập dạng này có thể tìm thấy trong các bài viết sau

• Sự tương tự giữa con lắc lò xo và con lắc đơn trong dao động điều hòa
• Thời gian di chuyển và quãng đường đi được trong dao động điều hòa
• Cực trị của quãng đường, thời gian và tốc độ trung bình trong dao động điều hòa
• Một số lưu ý về con lắc lò xo dao động thẳng đứng
Bạn thử tự giải trước khi xem đáp án nhé :)

1. Một vật dao động điều hòa, trong 1 phút thực hiện được 30 dao động toàn phần. Quãng đường mà vật di chuyển trong 8 s là 64 cm. Biên độ dao động của vật là?
   - Chu kỳ dao động \[T = \frac{t}{N} = \frac{{60}}{{30}} = 2\,{\text{s}}{\text{.}}\]
   - Quãng đường vật đi được trong thời gian t = 8 s = T/4 là \[s = 16{\text{A}} = 64\,{\text{cm}} \Rightarrow A = 4\,{\text{cm}}.\]


2. Một con lắc lò xo dao động với biên độ A. Trong một chu kỳ thời gian dài nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ x₁ = -A đến vị trí có li độ x₂ = A/2 là 1 s. Chu kì dao động của con lắc là?
   Trong một chu kỳ thời gian dài nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ x₁ = -A đến vị trí có li độ x₂ = A/2 là \[\frac{{2T}}{3} = 1\,{\text{s}} \Rightarrow T = 1,5\,{\text{s}}.\]


3. Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3sin(5πt + π/6) (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1 cm bao nhiêu lần?
   - Chu kỳ dao động \[T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{5\pi }} = 0,4\,{\text{s}}.\] Ta có \[t = 1\,\text{s} = 2,5T\]- Thời điểm t = 0 chất điểm ở vị trí có li độ x = 1,5 cm nên sau nửa chu kỳ chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1 cm 1 lần.
   - Sau 2,5 T chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1 cm 5 lần.


4. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = -A/2, chất điểm có tốc độ trung bình là?
   - Thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = -A/2 là T/3
   - Quãng đường đi được\[s = A + \frac{A}{2} = \frac{{3{\text{A}}}}{2}.\]- Tốc độ trung bình\[\overline v = \frac{s}{t} = \frac{{9A}}{{2T}}.\]


5. Một chất điểm dao động điều hoà theo phương trình x = 4cos(2πt/3) (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm?
   - Chu kỳ dao động \[T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{{2\pi }}{3}}} = 3\,{\text{s}}.\]- Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ nhất\[{t_1} = \frac{T}{3} = \frac{3}{3} = 1\,{\text{s}}.\]- Thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011\[{t_{2011}} = {t_1} + 1005 = 1 + 1005.3 = 3016\,\,{\text{s}}.\]


6. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 6cosπt (cm). Vận tốc trung bình khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ x = 3 cm là?
   - Chu kỳ dao động\[T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{\pi } = 2\,{\text{s}}.\]- Vận tốc trung bình \[{v_{{\text{TB}}}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} = \frac{{3 - 0}}{{2/12}} = 18\,\,{\text{cm/s}}.\]


7. Xét một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(5πt – π/3) (cm), trong khoảng thời gian Δt = 0,6 s đầu tiên, vật đi được quãng đường?
   - Chu kỳ dao động\[T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{5\pi }} = 0,4\,{\text{s}}\] mà \[\Delta t = 0,6\,{\text{s}} = 1,5T.\] Như vậy, quãng đường vật đi được trong 1,5T \[s = 4A + 2A = 6A = 6.4 = 24\,\,{\text{cm}}.\]


8. Một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong 1 chu kỳ dao động, có mấy lần động năng của con lắc bằng thế năng của nó?
   - Vị trí động năng bằng thế năng của vật\[x = ±A/√2\]- Trong 1 chu kỳ có 2 lần vật đi qua vị trí có li độ x = A/√2 và 2 lần vật đi qua vị trí có li độ x = -A/√2. Vậy trong một chu kỳ có 4 lần vật đi qua vị trí có động năng bằng thế năng.


9. Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm vật nặng có khối lượng 100 g và một lò xo nhẹ có độ cứng k = 100 N/m. Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo dãn 4 cm rồi truyền cho nó một vận tốc 40π cm/s theo phương thẳng đứng từ dưới lên. Coi vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng. Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò xo bị nén 1,5 cm là?
   \[\begin{align} & \omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{100}}{{0,1}}} = 10\sqrt {10} {\kern 1pt} \,{\text{rad/s}}, \hfill \\ & T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 0,2{\kern 1pt} \,{\text{s,}} \hfill \\ & \Delta {l_0} = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,1.10}}{{100}} = 0,01\,{\kern 1pt} {\text{m}} = 1\,{\kern 1pt} {\text{cm}}. \hfill \\ \end{align}\] - Khi lò xo dãn 4 cm vật nặng ở vị trí có li độ x = 3 cm. Áp dụng hệ thức độc lập\[{A^2} = {x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {3^2} + \frac{{{{(40\pi )}^2}}}{{{{\left( {10\sqrt {10} } \right)}^2}}} = 5\,{\text{cm}}.\] - Nếu chọn chiều dương hướng xuống, vị trí thấp nhất x = A, vị trí lò xo nén 1,5 cm là \[x = - (\Delta {l_0} + 1,5) = 1 + 1,5 = 2,5\,\text{cm}.\] - Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò xo bị nén 1,5 cm là\[ \frac{T}{3} = \frac{1}{{15}}\,{\text{s}}.\]


10. Một chất điểm dao động điều hòa dọc theo quĩ đạo thẳng có chiều dài 8 cm, thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x₁ = 4 cm đến x₂ = -2√3 cm là 2 s. Tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động là?
    - Biên độ dao động\[A = \frac{l}{2} = \frac{8}{2} = 4\,{\text{cm}}{\text{.}}\]- Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x₁ = 4 cm đến x₂ = -2√3 cm là \[t = \frac{{5T}}{{12}} = 2\,{\text{s}} \Rightarrow T = 4,8\,{\text{s}}.\]- Tần số góc\[\omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{4,8}} = \frac{{10\pi }}{{24}}\,{\text{rad/s}}{\text{.}}\]- Vận tốc cực đại\[{v_{\max }} = A\omega = 4.\frac{{10\pi }}{{24}} = 5,24\,{\text{cm}}.\]


11. Một vật dao động điều hoà với biên độ 4 cm, cứ sau một khoảng thời gian 1/4 s thì động năng lại bằng thế năng. Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian 1/6 s là?
    \[\begin{align} & \frac{T}{4} = 4{\kern 1pt} {\text{s}} \Rightarrow T = 1{\kern 1pt} \,{\text{s,}} \hfill \\ & t = \frac{1}{6}{\kern 1pt} \,{\text{s}} = \frac{T}{6}. \hfill \\ \end{align} \] Quãng đường lớn nhất vật đi được trong T/6 \[{s_{\max }} = 2A\sin \frac{{\omega t}}{2} = 2A.\sin \frac{\pi }{6} = 4\,{\text{cm}}.\]


12. Một vật dao động điều hoà với tần số 1 Hz. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có độ lớn gia tốc lớn hơn √3/2 gia tốc cực đại là?
    Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật có độ lớn √3/2 gia tốc lớn hơn gia tốc cực đại là \[t = \frac{T}{{12}} = \frac{1}{{12}}\,{\text{s}}{\text{.}}\]


13. Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(4πt/3 + π/2) (cm). Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x = 0 cm đến x = 10 cm là?
    Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ x = 0 cm đến x = 10 cm hay x = 0 đến x = A là \[t = \frac{{3T}}{4} = \frac{3}{8}\,{\text{s}}{\text{.}}\]


14. Một vật dao động điều hòa với biên độ 4 cm, tần số góc 10 rad/s. Tại thời điểm t = 0 vật có li độ 2 cm. Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian π/30 s sau đó là?
    \[\begin{align} & T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{10}} = \frac{\pi }{5}{\kern 1pt} \,\,{\text{s,}} \hfill \\ & t = \frac{\pi }{{30}}{\kern 1pt} \,{\text{s}} = \frac{T}{6}. \hfill \\ \end{align} \] Quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian $\pi /30\,{\text{s}}$ sau đó là\[{s_{\max }} = 2.\frac{A}{2} = A = 4\,{\text{cm}}.\]


15. Một vật dao động điều hòa với tần số f. Thời gian ngắn nhất để vật đi được quãng đường có độ dài A là?
    - Thời gian nhỏ nhất khi vật đi quanh VTCB.
    - Thời gian ngắn nhất là khi vật đi từ vị trí có li độ x = -A/2 đến x = A/2 hoặc ngược lại\[{t_{\min }} = \frac{T}{6} = \frac{1}{{6f}}.\]


16. Con lắc lò xo dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 8 cm, vật nặng khối lượng 100 g. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến trung điểm của vị trí cân bằng và vị trí biên là π/120 s. Khi vật cách vị trí biên +1 cm và đang chuyển động theo chiều âm thì con lắc có thế năng là?
    - Biên độ dao động \[A = \frac{l}{2} = \frac{8}{2} = 4\,{\text{cm}}{\text{.}}\] - Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến trung điểm của vị trí cân bằng và vị trí biên \[t = \frac{T}{{12}} = \frac{\pi }{{120}}\,{\text{s}} \Rightarrow T = \frac{\pi }{{10}}\,{\text{s}}; \omega = \frac{{2\pi }}{T} = 20\,{\text{rad/s}}.\] - Vật cách biên 1 cm và chuyển động theo chiều âm nên x = -3 cm. Thế năng của con lắc\[\begin{align} {{\text{W}}_t} &= \frac{1}{2}m{\omega ^2}{x^2} \\ &= 0,5.0,{1.20^2}.0,{3^2} = 0,018\,\text{J} = 18\,\text{mJ}. \\ \end{align} \]


17. Một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng O. Ban đầu vật đi qua O theo chiều dương với vận tốc cực đại v₀. Sau thời gian t₁ = π/15 s vật chưa đổi chiều chuyển động và vận tốc còn lại một nửa (0,5v₀). Sau thời gian t₂ = 0,3π s vật đã đi được 12 cm. Vận tốc ban đầu v₀ của vật là?
    - Thời gian để vận tốc của vật giảm từ v₀ xuống còn một nửa \[t = \frac{T}{6} = \frac{\pi }{{15}}\,{\text{s}} \Rightarrow T = \frac{{6\pi }}{{15}}\,{\text{s}}\] và \[\omega = \frac{{2\pi }}{T} = 5\,{\text{rad/s}}{\text{.}}\]- Quãng đường vật đi trong thời gian ${t_2} = 0,3\pi \,{\text{s}} = 3T/4$ là \[s = 3{\text{A}} = 12\,{\text{cm}} \Rightarrow A = 4\,{\text{cm}}.\] - Vận tốc ban đầu của vật là \[{v_0} = A\omega = 4.5 = 20\,{\text{cm/s}}.\]


18. Một dao động điều hòa có chu kì 2 s, biên độ 2 cm. Vật đi từ li độ 1 cm đến biên rồi đến li độ √3 cm trong thời gian bao lâu?
    Thời gian vật đi từ li độ 1 cm đến biên rồi đến li độ √3 cm (hay từ A/2 đến A√3/2)\[t = \frac{T}{6} = \frac{2}{6}\, = \frac{1}{3}\,{\text{s}}.\]


19. Vật dao động điều hoà với tần số 2,5 Hz. Khi vật có li độ 1,2 cm thì động năng của nó chiếm 96% cơ năng toàn phần của dao động. Tốc độ trung bình của vật dao động trong một chu kì là?
    - Chu kỳ dao động\[T = \frac{1}{f} = \frac{1}{{2,5}} = {\text{0,4}}\,{\text{s}}.\] - Khi vật có li độ 1,2 cm thì động năng của nó chiếm 96% cơ năng toàn phần của dao động \[\begin{align} & {{\text{W}}_{\text{d}}} = 96\% {\text{W}} \\ \Leftrightarrow \,& {{\text{W}}_{\text{t}}} = 4\% {\text{W}} \hfill \\ \Leftrightarrow \,& \frac{1}{2}k{{\text{x}}^2} = 0,04\frac{1}{2}k{{\text{A}}^2} \hfill \\ \Leftrightarrow \,& A = \left| {\frac{{10}}{2}x} \right| = \left| {\frac{{10}}{2}.1,2} \right| = 6\,{\text{cm}}{\text{.}} \hfill \\ \end{align} \]- Tốc độ trung bình của vật trong một chu kỳ \[\overline v = \frac{s}{t} = \frac{{4{\text{A}}}}{T} = \frac{{4.6}}{{0,4}} = 60\,{\text{cm/s}}.\]


20. Một con lắc đơn dao động bé với biên độ 4 cm. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vận tốc của vật đạt giá trị cực đại là 0,05 s. Khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ vị trí có li độ x₁ = 2 cm đến li độ x₂ = 4 cm là?
    - Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vận tốc của vật đạt giá trị cực đại là \[t = \frac{T}{2} = 0,05\,{\text{s}} \Rightarrow T = {\text{0,1}}\,{\text{s}}.\]- Khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ vị trí có li độ x₁ = 2 cm đến li độ x₂ = 4 cm (hay x = A/2 đến x = A) là\[t = \frac{T}{6} = \frac{{0,1}}{6} = \frac{1}{{60}}\,{\text{s}}.\]